べき零行列の性質と標準形｜固有値・階数・ジョルダン標準形との関係

正方行列 $A$ が何乗かして零行列になるとき、$A$ をべき零行列といいます。

$$A^k=O$$

これを満たす最小の正の整数 $k$ をべき零指数といいます。零行列は指数が $1$ で、それ以外の行列は $2$ 以上になります。

見た目は零行列と違うのに、何度か掛けるだけで消えてしまう。この性質は固有値がすべて $0$ であることと同じで、対角化できない行列の典型例になります。

<svg viewBox="0 0 460 150" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="30" y="26" font-size="11" fill="#1f1f1f">シフト行列は、基本ベクトルを一つ手前へ送ります</text>
	<text x="55" y="99" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">e4</text>
	<text x="140" y="99" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">e3</text>
	<text x="225" y="99" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">e2</text>
	<text x="310" y="99" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">e1</text>
	<text x="395" y="99" font-size="13" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<line x1="73" y1="95" x2="115" y2="95" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="115,91 123,95 115,99" fill="#1b81e0"></polygon>
	<line x1="158" y1="95" x2="200" y2="95" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="200,91 208,95 200,99" fill="#1b81e0"></polygon>
	<line x1="243" y1="95" x2="285" y2="95" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="285,91 293,95 285,99" fill="#1b81e0"></polygon>
	<line x1="328" y1="95" x2="370" y2="95" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="370,91 378,95 370,99" fill="#1b81e0"></polygon>
	<text x="98" y="84" font-size="11" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">N</text>
	<text x="183" y="84" font-size="11" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">N</text>
	<text x="268" y="84" font-size="11" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">N</text>
	<text x="353" y="84" font-size="11" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">N</text>
	<text x="30" y="134" font-size="11" fill="#9a9a9a">4 回掛ければどのベクトルも 0 に落ち、べき零指数は 4 になります</text>
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べき零指数と最小多項式

$A^k=O$ が成り立てば、それより大きい指数でも成り立ちます。最小のものを取り出したのがべき零指数です。

最小多項式で言い換えると見通しがよくなります。$A^k=O$ とは多項式 ${\lambda }^k$ が $A$ を消すことなので、最小多項式は ${\lambda }^m$ という形に限られます。

この $m$ がべき零指数そのものです。${\lambda }^m$ より低い次数の多項式では $A$ を消せません。

例：シフト行列で指数を数える

基本ベクトルを一つ手前へ送る行列が、いちばん見やすい例です。

$$N=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

$2$ 乗すると、$1$ の位置がさらに右上へずれます。

$$N^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),N^3=O$$

$N^2$ は零行列ではないので、べき零指数は $3$ です。行列の大きさと指数が一致しています。

固有値はすべて 0 になる

証明は数行で終わります。$A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$ とし、$\mathbf{v}$ は零ベクトルでないとします。

両辺に $A$ を繰り返し掛けます。$A^k\mathbf{v}={\lambda }^k\mathbf{v}$ となり、左辺は $A^k=O$ から零ベクトルです。

$\mathbf{v}\ne 0$ なので ${\lambda }^k=0$、したがって $\lambda =0$ です。実固有値でも複素固有値でも議論は変わりません。

固有値がすべて 0 ならべき零である

逆も成り立ちます。複素数の範囲では固有多項式が $1$ 次式の積に分解し、根がすべて $0$ なら次の形になります。

$$\phi (\lambda )={\lambda }^n$$

ケイリー・ハミルトンの定理により $\phi (A)=O$、つまり $A^n=O$ です。固有値だけでべき零性が決まることになります。

実行列を扱うときも、判定は複素数の範囲まで見て行います。実の固有値がなくても、複素固有値が $0$ でなければべき零にはなりません。

トレース・行列式・正則性

固有多項式が ${\lambda }^n$ と分かれば、係数から $2$ つの量が読めます。トレースは固有値の和、行列式は積だからです。

$$\mathrm{tr}A=0,\det A=0$$

行列式が $0$ なので、べき零行列が正則になることはありません。逆行列を持たない行列の分かりやすい一群です。

行列式のほうは固有値を経由せずに出せます。$A^k=O$ の両辺の行列式を取ると $(\det A{)}^k=0$ となるからです。

例：狭義三角行列はべき零

対角成分がすべて $0$ の三角行列は、必ずべき零になります。

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -1\\ 0& 0& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

掛けるたびに $0$ の帯が広がっていきます。

$$A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 6\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),A^3=O$$

三角行列では対角成分が固有値です。それがすべて $0$ なのだから、前節の結果からべき零だと分かります。

向きを逆にした主張も正しく、べき零行列はどれも狭義三角行列と相似になります。

階数は段階的に落ちる

核の増え方を見ると、指数の上限まで分かります。$A\mathbf{x}=0$ なら $A^2\mathbf{x}=0$ なので、核は広がる一方です。

$$\ker A\subseteq \ker A^2\subseteq \ker A^3\subseteq \cdots$$

途中で $2$ つが一致すると、その先はずっと同じままになります。$A^{m+2}\mathbf{x}=0$ なら $A\mathbf{x}$ が $\ker A^{m+1}=\ker A^m$ に入り、$A^{m+1}\mathbf{x}=0$ が従うからです。

べき零なら核は最後に空間全体へ届きます。途中で止まれないので、指数に達するまで次元が毎回 $1$ 以上増えます。

したがってべき零指数が $n$ を超えることはありません。階数のほうは掛けるたびに真に小さくなり、いつか $0$ になります。

<svg viewBox="0 0 460 200" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="30" y="24" font-size="11" fill="#1f1f1f">階数は掛けるたびに真に小さくなります</text>
	<line x1="60" y1="155" x2="410" y2="155" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<rect x="90" y="65" width="44" height="90" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.5"></rect>
	<rect x="180" y="95" width="44" height="60" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.5"></rect>
	<rect x="270" y="125" width="44" height="30" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.5"></rect>
	<text x="112" y="57" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">3</text>
	<text x="202" y="87" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">2</text>
	<text x="292" y="117" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">1</text>
	<text x="382" y="147" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="112" y="173" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">N</text>
	<text x="202" y="173" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">N<tspan font-size="9" dy="-4">2</tspan></text>
	<text x="292" y="173" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">N<tspan font-size="9" dy="-4">3</tspan></text>
	<text x="382" y="173" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">N<tspan font-size="9" dy="-4">4</tspan></text>
	<text x="30" y="193" font-size="11" fill="#9a9a9a">4 次のシフト行列の例です。0 に届いたときの回数がべき零指数です</text>
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例：階数の列を追う

指数が行列の大きさより小さくなる例を見ます。次の行列は右上の $1$ が $2$ つに分かれています。

$$N=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

独立な行が $2$ 本あるので階数は $2$ です。$2$ 乗すると $(1,3)$ 成分だけが残ります。

$$\mathrm{rank}N=2,\mathrm{rank}{N}^2=1,\mathrm{rank}{N}^3=0$$

べき零指数は $3$ で、行列の大きさ $4$ より小さくなりました。指数が $n$ に届くのは、ブロックが一つにまとまっているときだけです。

I - N は正則で、逆行列は有限和

べき零行列は正則になりませんが、単位行列に足すと事情が変わります。$N$ のべき零指数を $k$ とします。

$$(I-N)(I+N+N^2+\cdots +N^{k-1})=I-N^k=I$$

途中の項が次々に打ち消し合い、最後に $N^k=O$ が効きます。等比級数の公式が、有限で止まる形で成り立つわけです。

$$(I-N{)}^{-1}=I+N+N^2+\cdots +N^{k-1}$$

$I+N$ についても符号を交互に変えれば同じ形になります。どちらの行列式も $1$ です。

例：有限和で逆行列を求める

先ほどの狭義三角行列で試します。べき零指数は $3$ でした。

$$I-A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 0& 1& -3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

逆行列は $I+A+A^2$ を足すだけで求まります。掃き出しをする必要はありません。

$$(I-A{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

$(1,3)$ 成分の $5$ は、$A$ の $-1$ と $A^2$ の $6$ を足した値です。実際に積を計算すると単位行列に戻ります。

対角化できるべき零行列は零行列だけ

べき零行列のうち対角化できるものは、零行列に限られます。固有値がすべて $0$ であることから直ちに出ます。

対角化できたとすると、$P^{-1}AP$ は対角行列でその成分は固有値です。すべて $0$ なので $P^{-1}AP=O$ となり、両側から掛け直して $A=O$ が得られます。

正規行列でも結論は同じです。正規ならユニタリ行列で対角化できるため、べき零な正規行列は零行列しかありません。

零でないべき零行列は、対角化できない行列のもっとも素朴な例になります。固有ベクトルの本数が足りないという事情が、はっきり見える形で現れます。

和や積はべき零とは限らない

べき零行列の集まりは、和についても積についても閉じていません。零行列に近いように見えても、組み合わせると性質が壊れます。

互いに可換なら結論が変わります。$AB=BA$ のとき二項展開が使えて、$(A+B{)}^{k+l}$ の各項には $A^k$ か $B^l$ のどちらかが現れるからです。

積についても可換なら $(AB{)}^m=A^m{B}^m$ が成り立ちます。どちらかの指数まで上げれば消えるので、積もべき零になります。

例：和も積もべき零にならない組

右上と左下に $1$ を置いた $2$ つの行列を用意します。

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$$

どちらも $2$ 乗すると零行列です。ところが和を取ると様子が一変します。

$$A+B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

この行列は $2$ 乗すると単位行列になります。固有値は $1$ と $-1$ で、べき零からはほど遠い行列です。

積も同様です。$AB$ は $(1,1)$ 成分だけが $1$ の行列で、何乗しても同じものが返ってきます。

ジョルダン標準形による分類

べき零行列の相似類は、ブロックの大きさの組だけで決まります。対角成分が $0$ のジョルダンブロックが並んだ形が標準形です。

大きさを $p_1\ge p_2\ge \cdots \ge p_r$ と並べると、合計は $n$ になります。つまり $n$ の分割と、$n$ 次のべき零行列の相似類が一対一に対応します。

標準形から読み取れる量も決まっています。べき零指数は最大のブロックの大きさ $p_1$、核の次元はブロックの個数 $r$、階数は $n-r$ です。

逆にブロックの構成は $\dim \ker A^s$ を $s=1,2,\dots$ と調べれば復元できます。具体的な手順はジョルダン標準形の記事で扱います。

例：4 次のべき零行列を分類する

$n=4$ の場合に相似類を書き出します。ブロックの分け方は $4$ の分割の個数だけあります。

$5$ 通りで尽きています。最後の行はブロックがすべて $1$ 次の場合で、零行列にあたります。

階数が同じ $2$ でも、指数が $3$ と $2$ に分かれる組がある点に注意してください。階数だけでは相似類が決まらず、$\dim \ker A^s$ を順に調べる必要があります。

他の話題とのつながり

行列の指数関数は、べき零行列に対して有限和になります。無限級数が途中で止まるので、そのまま計算できます。

$$e^N=I+N+\frac{1}{2!}{N}^2+\cdots +\frac{1}{(k-1)!}{N}^{k-1}$$

対角化できる行列とべき零行列は、足し算で組み合わさります。三角化できる行列は $A=D+N$ の形に一意に分かれ、$D$ は対角化可能、$N$ はべき零で $DN=ND$ を満たします。ジョルダン・シュヴァレー分解と呼ばれる分け方です。

行列に限らない例もあります。次数が $n$ 未満の多項式の空間で微分を考えると、$n$ 回微分すればすべて $0$ になるので、これもべき零な線形写像です。

よくある誤り

参考文献