シルベスターの判定法｜主小行列式で正定値性を判定する

対称行列が正定値かどうかは、左上から順に取った小行列式の符号だけで決まります。

すべてが正なら正定値、そうでなければ正定値ではありません。固有値を求める必要はなく、行列式をいくつか計算するだけで済みます。

これをシルベスターの判定法といいます。判定できるのは正定値と負定値までで、半正定値には同じ形では使えません。

<svg viewBox="0 0 460 220" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="22" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">左上から取った入れ子の小行列が、判定の材料になります</text>
	<rect x="140" y="45" width="180" height="140" fill="none" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<line x1="185" y1="45" x2="185" y2="185" stroke="#e5e5e5" stroke-width="1"></line>
	<line x1="230" y1="45" x2="230" y2="185" stroke="#e5e5e5" stroke-width="1"></line>
	<line x1="275" y1="45" x2="275" y2="185" stroke="#e5e5e5" stroke-width="1"></line>
	<line x1="140" y1="80" x2="320" y2="80" stroke="#e5e5e5" stroke-width="1"></line>
	<line x1="140" y1="115" x2="320" y2="115" stroke="#e5e5e5" stroke-width="1"></line>
	<line x1="140" y1="150" x2="320" y2="150" stroke="#e5e5e5" stroke-width="1"></line>
	<rect x="140" y="45" width="45" height="35" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.3"></rect>
	<rect x="140" y="45" width="90" height="70" fill="none" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"></rect>
	<rect x="140" y="45" width="135" height="105" fill="none" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></rect>
	<text x="340" y="66" font-size="11" fill="#9a9a9a">1 次の小行列式</text>
	<text x="340" y="101" font-size="11" fill="#9a9a9a">2 次の小行列式</text>
	<text x="340" y="136" font-size="11" fill="#9a9a9a">3 次の小行列式</text>
	<text x="340" y="171" font-size="11" fill="#9a9a9a">全体の行列式</text>
	<text x="230" y="207" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">すべて正なら正定値です</text>
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シルベスターの判定法とは

$n$ 次の対称行列 $A$ に対して、左上の $k$ 次の部分だけを取り出した行列を $A_k$ と書きます。その行列式を首座小行列式といいます。

判定法はこうです。$A$ が正定値であることと、$\det A_1,\det A_2,\dots ,\det A_n$ がすべて正であることは同値です。

複素数まで広げるならエルミート行列に対して同じことが成り立ちます。首座小行列式は実数になるので、符号を比べられます。

首座小行列式とは

$A_k$ は、第 $1$ 行から第 $k$ 行と、第 $1$ 列から第 $k$ 列だけを残した行列です。取り出す位置は左上に固定されています。

行と列を同じ番号で選ぶ小行列式を主小行列式と呼び、そのうち番号が $1$ から $k$ までそろっているものが首座小行列式です。後で見るように、この違いが半正定値の話で効いてきます。

例：2 次で確かめる

まず 2 次の行列で試します。

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$

首座小行列式は $\det A_1=2$ と $\det A_2=2\cdot 2-1\cdot 1=3$ です。どちらも正なので正定値です。

固有値を求めると $1$ と $3$ で、確かにどちらも正になります。判定法のほうは、固有多項式を解かずに済んでいます。

例：判定に落ちる 2 次の行列

非対角成分を大きくすると事情が変わります。

$$B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$$

$\det B_1=1$ は正ですが、$\det B_2=1-4=-3$ で負になります。この時点で正定値ではありません。

実際 $x=(1,-1)$ を入れると、二次形式は $1-4+1=-2$ です。負の値を取るので正定値になりようがありません。

例：3 次の判定

3 次でも手順は同じです。左上から 3 つの行列式を順に計算します。

$$C=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right)$$

$\det C_1=2$、$\det C_2=4-1=3$、$\det C_3=4$ です。すべて正なので正定値と分かります。

3 つの行列式を計算するだけで済みました。固有値を求めるには 3 次方程式を解く必要があるので、手間はずいぶん違います。

例：文字を含む行列で条件を求める

成分に文字が入っていても、そのまま条件を出せます。

$$G=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ a& 1\end{array}\right)$$

$\det G_1=1$ はつねに正です。$\det G_2=1-a^2$ が正になる条件は $|a|<1$ です。

つまり $-1<a<1$ のときに限り正定値です。固有値は $1\pm a$ なので、同じ条件が出ます。

3 次でも同じように進みます。対角に $2$ を並べ、$(1,2)$ 成分だけを $a$ にした行列なら、条件は $4-a^2>0$ から $|a|<2$ です。

必要であることの証明

$A$ が正定値なら、$A_k$ も正定値です。後ろの座標を $0$ に固定したベクトルを考えると、二次形式が $A_k$ の二次形式に一致するからです。

正定値な行列の固有値はすべて正なので、行列式も正になります。固有値の積が行列式だからです。

したがって、正定値なら首座小行列式はすべて正です。こちらの向きは易しく片づきます。

十分であることの証明

逆向きは次数についての帰納法で示します。$\det A_1,\dots ,\det A_n$ がすべて正だとします。

$A_{n-1}$ は帰納法の仮定から正定値です。$A$ をブロックに分け、$A_{n-1}$ を軸にしてシューア補元 $s$ を作ります。

行列式はブロックごとに分かれるので $\det A=\det A_{n-1}\cdot s$ です。両側が正なので $s>0$ が出ます。

合同変換によって $A$ は $A_{n-1}$ と $s$ を並べた形に移ります。どちらも正定値なので $A$ も正定値です。この筋は、コレスキー分解が最後まで進むことの証明と同じものです。

負定値は符号が交互になる

$A$ が負定値であることは、$-A$ が正定値であることと同じです。$\det (-A_k)=(-1{)}^k\det A_k$ なので、条件は符号が交互に並ぶことになります。

奇数次の首座小行列式が負、偶数次が正であれば負定値です。$1$ 次で負、$2$ 次で正、$3$ 次で負、と続きます。

<svg viewBox="0 0 460 180" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="24" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">首座小行列式の符号のならび</text>
	<text x="120" y="70" font-size="12" fill="#1f1f1f" text-anchor="end">正定値</text>
	<text x="150" y="70" font-size="16" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">+</text>
	<text x="200" y="70" font-size="16" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">+</text>
	<text x="250" y="70" font-size="16" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">+</text>
	<text x="300" y="70" font-size="16" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">+</text>
	<text x="350" y="70" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">...</text>
	<text x="120" y="120" font-size="12" fill="#1f1f1f" text-anchor="end">負定値</text>
	<text x="150" y="120" font-size="16" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">-</text>
	<text x="200" y="120" font-size="16" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">+</text>
	<text x="250" y="120" font-size="16" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">-</text>
	<text x="300" y="120" font-size="16" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">+</text>
	<text x="350" y="120" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">...</text>
	<text x="150" y="148" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">1 次</text>
	<text x="200" y="148" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">2 次</text>
	<text x="250" y="148" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">3 次</text>
	<text x="300" y="148" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">4 次</text>
	<text x="230" y="172" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">どちらでもなければ、正定値でも負定値でもありません</text>
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例：負定値の判定

符号を反転した行列で試します。

$$D=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& -2\end{array}\right)$$

$\det D_1=-2$ で負、$\det D_2=4-1=3$ で正です。負、正と交互に並んでいるので負定値です。

固有値は $-1$ と $-3$ で、どちらも負になります。

半正定値には同じ形が使えない

不等号をゆるめて「すべて $0$ 以上」にすれば半正定値の判定になる、と考えたくなります。これは成り立ちません。

首座小行列式は左上からしか取らないので、右下に隠れた負の成分を見落とすからです。

例：見落としが起きる行列

対角に $0$ と $-1$ を並べた行列を考えます。

$$E=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$

$\det E_1=0$、$\det E_2=0$ で、どちらも $0$ 以上です。ゆるめた条件は満たしています。

ところが $x=(0,1)$ を入れると二次形式は $-1$ です。半正定値ではありません。

$1$ 次の首座小行列式が $0$ になったせいで、そこから先の情報が消えてしまいました。左上だけを見る弱点がはっきり出た例です。

半正定値ではすべての主小行列式を見る

正しい判定は、首座に限らずすべての主小行列式を調べることです。行と列を同じ番号で選ぶ取り方を、すべて試します。

$n$ 次なら $2^n-1$ 通りあります。首座小行列式の $n$ 個に比べると、ずいぶん増えます。

このすべてが $0$ 以上であることと、半正定値であることが同値です。負定値の側も同様に、奇数次が $0$ 以下、偶数次が $0$ 以上という条件になります。

例：すべての主小行列式を調べる

さきほどの $E$ で試します。第 $2$ 行と第 $2$ 列だけを残すと $-1$ が出てきます。

主小行列式のひとつが負なので、半正定値ではないと正しく判定できました。首座だけを見たときとの違いです。

半正定値な例も見ておきます。成分がすべて $1$ の 3 次の行列では、$1$ 次の主小行列式はすべて $1$、$2$ 次と $3$ 次はすべて $0$ です。

どれも $0$ 以上なので半正定値です。実際、この行列の二次形式は $(x_1+x_2+x_3{)}^2$ で、負にはなりません。

対称性が前提になる

判定法は、対称行列やエルミート行列にしか使えません。対称でない行列に当てはめると、正しくない結論が出ます。

そもそも二次形式 $x^{\top }Ax$ は、$A$ の対称部分だけで決まります。判定したいなら、先に対称部分を取り出してから使ってください。

例：対称でない行列で誤る

次の行列で確かめます。対称ではありません。

$$F=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& -1\end{array}\right)$$

首座小行列式は $\det F_1=1$、$\det F_2=-1+2=1$ で、どちらも正です。判定法をそのまま使えば正定値と出てしまいます。

ところが $x=(0,1)$ を入れると、二次形式は $-1$ です。正定値ではありません。

対称部分を作ると $(1,\frac{1}{2};\frac{1}{2},-1)$ で、その行列式は $-\frac{5}{4}$ です。こちらで判定すれば、正定値でないことが正しく分かります。

二次形式の平方完成との対応

首座小行列式は、平方完成の途中に現れる係数と結びついています。$k$ 番目の平方の係数は $\det A_k/\det A_{k-1}$ です。

すべての首座小行列式が正なら、この比もすべて正になります。二次形式が正の係数だけの平方和に書けるので、値は正です。

コレスキー分解の対角成分は、この比の平方根にあたります。判定法と分解が同じ計算を見ているわけです。

ほかの判定法との比較

固有値をすべて求めて正であることを確かめる方法は、意味の上ではいちばん素直です。ただし $3$ 次を超えると手では解けません。

コレスキー分解を試みる方法は、数値計算では標準です。途中で平方根の中身が負になれば、そこで正定値でないと分かります。

シルベスターの判定法は、次数が小さいときと、記号のまま議論したいときに向きます。文字を含む行列で条件を出すような場面では、この形がいちばん扱いやすくなります。

計算量

首座小行列式を $n$ 個、定義どおりに計算すると重くなります。$k$ 次の行列式それぞれに手数がかかるからです。

順に消去していけば、$1$ 回の掃き出しで全部の首座小行列式が手に入ります。上三角に直したときの対角成分の積が、そのまま各段階の行列式になるからです。

この形で計算すると、コレスキー分解とほとんど同じ手数になります。判定法が実用になるのは、この見方をしたときです。

他の話題とのつながり

正定値行列そのものの性質は正定値行列と半正定値行列の記事に、二次形式の標準形は二次形式と標準形の記事にあります。

証明に使ったシューア補元はブロック行列とシューア補元の記事で、分解との関係はコレスキー分解の記事で扱っています。

最適化では、ヘッセ行列が正定値かどうかで極小の判定をします。そこでもこの判定法が顔を出します。

例：ヘッセ行列で極小を判定する

2 変数の関数 $f(x,y)=x^2+xy+y^2$ を考えます。原点で偏微分がどちらも $0$ になります。

2 階偏導関数を並べたヘッセ行列は、定数行列になります。

$$H=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$

首座小行列式は $2$ と $3$ で、どちらも正です。したがって $H$ は正定値で、原点は極小になります。

高校で習う判別式 $f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}^2>0$ と $f_{xx}>0$ は、この判定法を 2 変数で書いたものにほかなりません。

よくある誤り

参考文献