基本行列とは｜行基本変形を行列の積で書く

行列に対する行基本変形は 3 種類あります。2 つの行を入れ替える、1 つの行を $0$ でない数で定数倍する、ある行に別の行の定数倍を足す、の 3 つです。

単位行列 $I_{n}$ にこの操作を 1 回だけ施して得られる行列を基本行列といいます。基本行列を左から掛けることは、その行基本変形を施すことと同じです。

つまり掃き出し法の手順は、行列の積に書き直せます。変形を「手続き」から「積」に移すと、逆行列や行列式の議論がそのまま代数の計算になります。

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<svg viewBox="0 0 460 210" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="30" y="24" font-size="11" fill="#1f1f1f">単位行列を 1 回の行基本変形で変えた形です</text>
	<text x="91" y="48" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">P12</text>
	<text x="230" y="48" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">D2(c)</text>
	<text x="369" y="48" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">T31(c)</text>
	<rect x="40" y="56" width="102" height="78" fill="none" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<line x1="74" y1="56" x2="74" y2="134" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="108" y1="56" x2="108" y2="134" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="40" y1="82" x2="142" y2="82" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="40" y1="108" x2="142" y2="108" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"></line>
	<text x="57" y="74" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="91" y="74" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">1</text>
	<text x="125" y="74" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="57" y="100" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">1</text>
	<text x="91" y="100" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="125" y="100" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="57" y="126" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="91" y="126" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="125" y="126" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">1</text>
	<rect x="179" y="56" width="102" height="78" fill="none" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<line x1="213" y1="56" x2="213" y2="134" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="247" y1="56" x2="247" y2="134" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="179" y1="82" x2="281" y2="82" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="179" y1="108" x2="281" y2="108" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"></line>
	<text x="196" y="74" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">1</text>
	<text x="230" y="74" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="264" y="74" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="196" y="100" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="230" y="100" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">c</text>
	<text x="264" y="100" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="196" y="126" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="230" y="126" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="264" y="126" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">1</text>
	<rect x="318" y="56" width="102" height="78" fill="none" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<line x1="352" y1="56" x2="352" y2="134" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="386" y1="56" x2="386" y2="134" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="318" y1="82" x2="420" y2="82" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="318" y1="108" x2="420" y2="108" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"></line>
	<text x="335" y="74" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">1</text>
	<text x="369" y="74" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="403" y="74" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="335" y="100" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="369" y="100" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">1</text>
	<text x="403" y="100" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="335" y="126" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">c</text>
	<text x="369" y="126" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="403" y="126" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">1</text>
	<text x="91" y="152" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">行の交換</text>
	<text x="230" y="152" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">行の定数倍</text>
	<text x="369" y="152" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">行の加法</text>
	<text x="30" y="180" font-size="11" fill="#9a9a9a">青が単位行列から変えた成分です。交換だけは 2 行ぶんが動きます</text>
</svg>

3 種類の基本行列

記号を決めます。 $(i, j)$ 成分だけが $1$ で残りが $0$ の行列を $E_{ij}$ と書き、行列単位と呼びます。

行の交換は $P_{ij}$ と書きます。単位行列の第 $i$ 行と第 $j$ 行を入れ替えたもので、 $i \neq = j$ とします。

$P_{ij} = I - E_{ii} - E_{j j} + E_{ij} + E_{j i}$

行の定数倍は $D_{i} (c)$ です。第 $i$ 行を $c$ 倍したもので、 $c \neq = 0$ を課します。

$D_{i} (c) = I + (c - 1) E_{ii}$

行の加法は $T_{ij} (c)$ です。第 $i$ 行に第 $j$ 行の $c$ 倍を足したもので、こちらも $i \neq = j$ とします。

$T_{ij} (c) = I + c E_{ij}$

$c = 0$ の定数倍を認めない理由は、その操作が取り消せないからです。 $0$ 倍した行は元の値を失い、変形の前後で情報が減ってしまいます。

加法のほうは $c = 0$ でも単位行列になるだけで害はありません。ただし $i = j$ は認めません。自分自身の定数倍を足す操作は、定数倍の型と重なるからです。

3 次で書き下すと形がはっきりします。

$P_{12} = 010100001, D_{2} (c) = 100 0 c 0 001, T_{31} (c) = 10 c 010001$

左から掛けると行が動く

$A$ を $m \times n$ 行列とします。 $m$ 次の基本行列 $E$ に対して、 $E A$ は $A$ にその行基本変形を施した行列に一致します。

証明は積の定義を行ごとに読むだけで済みます。単位行列の第 $i$ 行を $u_{i}$ 、 $A$ の第 $i$ 行を $a_{i}$ と書くと、 $u_{i} A = a_{i}$ が成り立ちます。

加法の型で見ます。 $T_{ij} (c)$ の第 $i$ 行は $u_{i} + c u_{j}$ なので、 $T_{ij} (c) A$ の第 $i$ 行は $a_{i} + c a_{j}$ になります。

残りの行は $u_{k}$ のままですから、 $A$ の行がそのまま並びます。第 $i$ 行だけが変わり、それが加法の操作そのものです。

交換と定数倍も同じ読み方で確かめられます。 $P_{ij}$ の第 $i$ 行は $u_{j}$ なので、積の第 $i$ 行は $a_{j}$ に変わります。

$D_{i} (c)$ の第 $i$ 行は $c u_{i}$ です。積の第 $i$ 行は $c a_{i}$ となり、これが定数倍の操作にあたります。

例：左から掛けて行を変形する

次の行列で確かめます。

$A = 132210045$

$T_{21} (- 3)$ を左から掛けます。第 2 行に第 1 行の $- 3$ 倍を足す操作にあたります。

$T_{21} (- 3) A = 1 - 3 0 010001 132210045 = 102 2 - 5 0 045$

第 2 行が $(3, 1, 4) - 3 (1, 2, 0) = (0, - 5, 4)$ に変わりました。第 1 行と第 3 行は動いていません。

右から掛けると列が動く

同じ行列を右から掛けると、作用する先が列になります。 $A$ が $m \times n$ で $E$ が $n$ 次の基本行列なら、 $A E$ は列基本変形の結果です。

注意すべきは添字の役割が入れ替わることです。 $A T_{ij} (c)$ で変わるのは第 $j$ 列で、そこに足されるのは第 $i$ 列の $c$ 倍になります。

理由は $A E_{ij}$ を計算すると見えます。この積は第 $j$ 列に $A$ の第 $i$ 列を置き、他の列をすべて $0$ にした行列です。 $c$ 倍して $A$ に足すので、動くのは第 $j$ 列だけになります。

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	<text x="30" y="20" font-size="11" fill="#1f1f1f">左から掛けると行、右から掛けると列に作用します</text>
	<rect x="70" y="56" width="120" height="90" fill="none" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
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	<line x1="110" y1="56" x2="110" y2="146" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"></line>
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	<line x1="32" y1="101" x2="60" y2="101" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="60,97 68,101 60,105" fill="#1b81e0"></polygon>
	<rect x="290" y="56" width="120" height="90" fill="none" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<rect x="330" y="56" width="40" height="90" fill="#d0562a" fill-opacity="0.15"></rect>
	<line x1="330" y1="56" x2="330" y2="146" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="370" y1="56" x2="370" y2="146" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="290" y1="86" x2="410" y2="86" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="290" y1="116" x2="410" y2="116" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="350" y1="26" x2="350" y2="46" stroke="#d0562a" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="346,46 350,54 354,46" fill="#d0562a"></polygon>
	<text x="130" y="168" font-size="11" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">EA は行が動く</text>
	<text x="350" y="168" font-size="11" fill="#d0562a" text-anchor="middle">AE は列が動く</text>
	<text x="30" y="192" font-size="11" fill="#9a9a9a">Tij(c) は左からなら第 i 行に第 j 行の c 倍、右からなら第 j 列に第 i 列の c 倍</text>
</svg>

例：右から掛けて列を変形する

先ほどと同じ $A$ と $T_{21} (- 3)$ で試します。掛ける向きだけを変えます。

$A T_{21} (- 3) = 132210045 1 - 3 0 010001 = - 5 02 210045$

変わったのは第 1 列で、 $(1, 3, 2) - 3 (2, 1, 0) = (- 5, 0, 2)$ です。左から掛けたときとは別の行列になりました。

同じ基本行列でも、向きを変えれば結果は一致しません。行に効かせたいのか列に効かせたいのかで、掛ける側を選ぶことになります。

基本行列は正則で、逆行列も同じ型

行基本変形はどれも取り消せます。取り消す操作もまた同じ型の行基本変形なので、基本行列の逆行列は同じ型の基本行列になります。

$P_{ij}^{- 1} = P_{ij}, D_{i} (c)^{- 1} = D_{i} (1/ c), T_{ij} (c)^{- 1} = T_{ij} (- c)$

交換は 2 回繰り返せば元に戻るので、自分自身が逆行列です。定数倍で $c \neq = 0$ を課しておいたおかげで、 $1/ c$ が書けます。

加法については積を展開すると確かめられます。 $i \neq = j$ のとき $E_{ij} E_{ij} = 0$ となるので、次のように計算できます。

$T_{ij} (c) T_{ij} (- c) = (I + c E_{ij}) (I - c E_{ij}) = I - c^{2} E_{ij} E_{ij} = I$

基本行列の行列式

値は型ごとに決まります。行列式の性質をそのまま読み取ったものです。

$det P_{ij} = - 1, det D_{i} (c) = c, det T_{ij} (c) = 1$

交換は行を 2 つ入れ替えるので、交代性から符号が反転します。定数倍は 1 つの行だけを $c$ 倍するため、行列式も $c$ 倍になります。

加法の型は三角行列で、対角成分がすべて $1$ です。したがって行列式は $1$ になり、この変形は行列式を変えません。

どの型も行列式が $0$ になりません。基本行列が正則であることは、この計算からも読み取れます。

変形の列はひとつの正則行列にまとまる

$A$ に行基本変形を $k$ 回施して $B$ を得たとします。各段階の基本行列を $E_{1}, \dots, E_{k}$ と書けば、変形の全体は積で表せます。

$B = E_{k} E_{k - 1} \dots E_{1} A$

$U = E_{k} \dots E_{1}$ と置くと $B = U A$ です。正則行列の積なので $U$ も正則になります。

$U$ を求めるのに $E_{i}$ を一つずつ書き出す必要はありません。 $A$ の右に単位行列を並べた $[A ∣ I]$ に同じ変形を施すと、右半分が $U$ に変わります。

$[A ∣ I] ⟶ [B ∣ U]$

左半分に起きることと右半分に起きることは、同じ行列を左から掛ける操作だからです。右半分には $U I = U$ が現れます。

正則行列は基本行列の積である

正方行列 $A$ について、 $A$ が正則であることと、 $A$ が基本行列の積で書けることは同値です。

片方は簡単です。基本行列は正則で、正則行列の積は正則ですから、基本行列の積は正則になります。

逆を示します。 $A$ を行基本変形で簡約階段形 $R$ にすると、前節から $R = U A$ と書けます。

$R$ が単位行列でなければ、主成分の個数が $n$ に足りず、零行列の行ができます。すると $det R = 0$ となり、 $det U \neq = 0$ とあわせて $det A = 0$ が出て、 $A$ が正則であることに反します。

したがって $R = I$ です。 $E_{k} \dots E_{1} A = I$ の両辺に逆行列を順に掛けると、分解が得られます。

$A = E_{1}^{- 1} E_{2}^{- 1} \dots E_{k}^{- 1}$

基本行列の逆行列は基本行列なので、右辺は基本行列の積です。正則行列の全体は、3 種類の基本行列から積だけで作り出せることになります。

分解は一通りには決まりません。掃き出しの順番を変えれば、別の基本行列の列が出てきます。

例：2 次の行列を基本行列の積に分ける

次の行列を分解します。

$A = (0123)$

第 1 行と第 2 行を交換し、第 2 行を $1/2$ 倍し、最後に第 1 行へ第 2 行の $- 3$ 倍を足すと単位行列になります。

$T_{12} (- 3) D_{2} (1/2) P_{12} A = I$

左から掛かっている 3 つを逆行列に取り替えて右辺に移すと、 $A$ の分解が出ます。

$A = P_{12} D_{2} (2) T_{12} (3) = (0110) (1002) (1031)$

右の 2 つを先に掛けると、次の上三角行列になります。

$D_{2} (2) T_{12} (3) = (1032)$

これに $P_{12}$ を掛けて行を入れ替えると $A$ に戻ります。

掃き出しで逆行列が求まる理由

$[A ∣ I]$ を掃き出して左半分が単位行列になったとき、右半分が $A^{- 1}$ になります。この手続きが正しい理由は、ここまでの 2 つの事実で説明できます。

変形の全体を $U$ と書くと、左半分は $U A$ 、右半分は $U$ です。左半分が $I$ になったということは、 $U A = I$ が成り立ったことを意味します。

$U$ は基本行列の積なので正則です。両辺に左から $U^{- 1}$ を掛ければ $A = U^{- 1}$ となり、 $A$ が正則であることと $A^{- 1} = U$ が同時に分かります。

先ほどの例で確かめます。 $A^{- 1} = T_{12} (- 3) D_{2} (1/2) P_{12}$ を計算します。

$A^{- 1} = (- 3/2 1/2 10)$

$det A = - 2$ なので、2 次の逆行列の公式からも同じ値が出ます。掃き出しの計算は、この分解を裏でたどっていることになります。

行の交換は残りの 2 種類で作れる

3 種類のうち交換だけは、他の 2 種類の積で書けてしまいます。2 次で確かめます。

$P_{12} = D_{1} (- 1) T_{12} (- 1) T_{21} (1) T_{12} (- 1)$

右の 3 つを先に掛けると、原点まわりに $90$ 度回す行列が現れます。

$T_{12} (- 1) T_{21} (1) T_{12} (- 1) = (01 - 1 0)$

これに $D_{1} (- 1)$ を左から掛けて第 1 行の符号を変えると、 $P_{12}$ が現れます。一般の $n$ 次でも、第 $i$ 行と第 $j$ 行だけを見れば同じ計算になります。

理屈の上では 2 種類あれば足りるわけですが、計算の手間は増えます。実際に手を動かすときは、交換もそのまま使うほうが速いです。

基本行列の積は基本行列とは限らない

基本行列どうしを掛けても、ふつうは基本行列になりません。単位行列との違いが 2 か所以上に広がってしまうからです。

$D_{1} (2) T_{12} (1) = (2001) (1011) = (2021)$

この行列を単位行列から作るには、第 1 行を $2$ 倍する操作と、第 1 行に第 2 行の $2$ 倍を足す操作の 2 回が要ります。1 回の変形では届きません。

基本行列の集まりは積について閉じていません。閉じているのは、そこから生成される正則行列の全体のほうです。

行列式の積の公式への使い道

$det (A B) = det A det B$ の証明に、基本行列がそのまま使えます。基本行列を左から掛けたときの行列式は、前に見た値の分だけ変わります。

$det (E A) = det E \cdot det A$

$A$ が正則なら $A = E_{1} \dots E_{k}$ と書けるので、この等式を $k$ 回使えば目的の公式が出ます。積の行列式が一つずつ外へ出ていく形です。

$A$ が正則でない場合は $A B$ も正則ではなく、両辺とも $0$ になります。場合分けはこの 2 つで尽きます。

他の話題とのつながり

行だけでなく列の変形も許すと、任意の $m \times n$ 行列は左上に単位行列が並んだ形まで簡約できます。正則行列 $U, V$ を選んで $U A V$ をその形にしたとき、単位行列の大きさが階数です。階数そのものは行列のランクの記事で扱います。

基本行列の転置もまた基本行列です。 $P_{ij}$ と $D_{i} (c)$ は転置しても変わらず、 $T_{ij} (c)$ の転置は $T_{j i} (c)$ になります。列基本変形が右からの積になるのは、この対応の言い換えでもあります。

交換を使わずに掃き出せる場合、対角より下を消す加法の基本行列だけが並びます。それらの逆行列を集めると下三角行列 $L$ になり、残った上三角行列とあわせて $A = LU$ と書けます。

これが LU 分解です。途中で交換が要るときは、置換行列を前に付けて $P A = LU$ の形にします。

よくある誤り

T_{ij} (c)

を左から掛けたとき動くのは第

i

行です。第

j

行のほうが変わると読むと、以降の計算がすべてずれます

右から掛けるときは添字の役割が逆になります。

A T_{ij} (c)

で変わるのは第

j

列で、材料になるのが第

i

列です

D_{i} (0)

を基本行列に数えてはいけません。

0

倍した行は元に戻せず、行列も正則になりません

基本行列の積を基本行列と呼ぶのは誤りです。この名前が付くのは、単位行列から 1 手で届く行列だけです

A = E_{1} \dots E_{k}

の分解に一意性はありません。掃き出しの順番を変えれば別の列が出てきます

det D_{i} (c)

は

c

であって

c^{n}

ではありません。

c

倍されるのは 1 行だけです

行基本変形が行列式を保つとは限りません。保つのは加法の型だけで、交換では符号が反転し、定数倍では

c

倍になります

参考文献

Elementary matrix - Wikipedia

W. K. Nicholson, Linear Algebra with Applications, 2.5 Elementary Matrices

K. Kuttler, A First Course in Linear Algebra, 2.8 Elementary Matrices

MIT OpenCourseWare 18.06SC, Elimination with Matrices（講義要約）

Elementarmatrix - Wikipedia（ドイツ語）

Gaußsches Eliminationsverfahren - Wikipedia（ドイツ語）

Matrice élémentaire - Wikipédia（フランス語）

A. Lachal, Matrices（リヨン第 1 大学の講義資料・フランス語）

Matriz elemental - Wikipedia（スペイン語）

基本行列は単位行列に行基本変形を施して得られる行列です。左から掛けると行、右から掛けると列が動くことを確かめ、逆行列と行列式を型ごとにまとめます。正則行列が基本行列の積に分解できること、掃き出しで逆行列が求まる理由まで解説します。