ベクトルの内積｜成分での計算・なす角の求め方・コーシー シュワルツの不等式

内積は 2 つのベクトルから 1 つの数を作る演算です。ベクトルどうしを掛けるのに、出てくるものはベクトルではない。

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$$

成分を掛けて足すだけの式ですが、これが長さと角度をまとめて背負っている。$\mathbf{a}$ の長さに、$\mathbf{b}$ を $\mathbf{a}$ の向きへ落とした影の長さを掛けた値、と読み替えられるからです。

長さも角度も、もとをたどればこの一つの式から出てくる。距離を測る、直角かどうかを見る、どれくらい似た向きかを数える。そうした操作がすべて内積に還元されます。

成分の積を足す

定義は成分どうしの積の和。次元がいくつでも同じ形で書けます。

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$$

順番を入れ替えても値は変わらない。各項で数の掛け算の順序を変えるだけだからです。

ドットの記号から、ドット積と呼ぶこともあります。$⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩$ と書く流儀もあり、どれも同じものを指す。

掛け算という名前がついていても、数の掛け算とは別の演算です。結合法則は書きようがなく、約分もできない。この違いが誤りの温床になるので、後の節でまとめて挙げます。

例：成分から内積を求める

$\mathbf{a}=(1,2,3)$ と $\mathbf{b}=(-7,8,9)$ で計算する。

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=1\cdot (-7)+2\cdot 8+3\cdot 9=-7+16+27=36$$

負の項が混じっても、そのまま足すだけです。結果の $36$ は数であって、ベクトルではない。

内積となす角

もう一つの定義は、長さとなす角で書いたもの。

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$$

$\theta$ は 2 つのベクトルのなす角で、$0$ から $\pi$ までにとります。長さは正なので、内積の符号を決めるのは $\cos \theta$ だけ。

鋭角なら正、直角でちょうど $0$、鈍角なら負になる。向きがどれくらいそろっているかを、符号と大きさで表しています。

同じ向きにそろうと $\cos \theta =1$ で、内積は長さの積そのものになります。真逆を向けば $-1$ 倍で、これがとりうる値の両端。この両端をきちんと証明したものが、後で扱うコーシー シュワルツの不等式にあたります。

余弦定理から 2 つの式が一致する

成分の式と角度の式が同じものだという保証は、余弦定理から来る。$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を 2 辺とする三角形を考えます。

残りの辺は $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ です。余弦定理をそのまま書き下す。

$$|\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2=|\mathbf{a}{|}^2+|\mathbf{b}{|}^2-2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$$

左辺を成分で展開すると、別の形が出てくる。

$$|\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2=|\mathbf{a}{|}^2-2(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})+|\mathbf{b}{|}^2$$

2 つを見比べれば $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$ が残る。長さの二乗の項が両側で打ち消し合うからです。

同じ式を逆に読むと、内積が 3 つの長さだけで書ける。

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\frac{1}{2}\left(|\mathbf{a}{|}^2+|\mathbf{b}{|}^2-|\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2\right)$$

極化恒等式と呼ばれる関係です。角度を持ち出さずに内積を定義できるので、抽象的な空間へ進むときの足場になる。

例：なす角を求める

$\mathbf{a}=(2,1)$ と $\mathbf{b}=(1,3)$ のなす角を出す。

内積は $2\cdot 1+1\cdot 3=5$ で、長さは $|\mathbf{a}|=\sqrt{5}$ と $|\mathbf{b}|=\sqrt{10}$ です。

$$\cos \theta =\frac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

したがって $\theta =45^{\circ }$ です。$\sqrt{50}$ を $5\sqrt{2}$ に直してから約分すると、根号が分母に残らない。

きれいな角になる例はむしろ少なく、ふつうは逆余弦の値をそのまま答えにする。$\mathbf{a}=(1,2,3)$ と $\mathbf{b}=(-7,8,9)$ なら $\cos \theta =36/\sqrt{2716}$ で、およそ $46.3^{\circ }$ です。

内積が 0 なら直交する

$\cos 90^{\circ }=0$ なので、直角のとき内積は消える。逆に内積が $0$ で、どちらの長さも $0$ でなければ、$\cos \theta =0$ から直角が出ます。

零ベクトルでない 2 つについては、直交することと内積が $0$ であることが同じ意味になる。この言い換えのおかげで、直交を成分の計算だけで確かめられます。

零ベクトルはどのベクトルとも内積が $0$ です。向きを持たないので、なす角のほうは定まらない。

例：直交するように成分を決める

$\mathbf{a}=(3,-2,1)$ と $\mathbf{b}=(2,k,4)$ が直交する $k$ を求める。

内積を作ると $6-2k+4=0$ となり、$k=5$ が出ます。

未知数を残したまま内積を書いて $0$ と置くだけ。角度を経由しないので、次元が増えても手順は変わりません。

単位ベクトルとの内積が成分になる

長さ $1$ のベクトルを相手にすると、内積の読み方がはっきりする。${\mathbf{e}}_1=(1,0,0)$ との内積は $a_1$ で、第 1 成分がそのまま出てきます。

一般に単位ベクトル $\mathbf{u}$ との内積は、$\mathbf{a}$ のうち $\mathbf{u}$ の向きにそろっている量です。$|\mathbf{u}|=1$ なので $\mathbf{a}\cdot \mathbf{u}=|\mathbf{a}|\cos \theta$ となり、影の長さそのものになる。

座標軸とのなす角で書いた $\cos \alpha$、$\cos \beta$、$\cos \gamma$ を方向余弦という。それぞれ $a_1/|\mathbf{a}|$、$a_2/|\mathbf{a}|$、$a_3/|\mathbf{a}|$ です。

$${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$$

3 つを並べたものが $\mathbf{a}$ と同じ向きの単位ベクトルなので、二乗和は $1$ になります。成分とは軸方向の影である、という見方がここで形になる。

正射影

$\mathbf{a}$ を $\mathbf{b}$ の向きへ落とした影は、ベクトルとして書ける。

$${\mathrm{proj}}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}{|}^2}\mathbf{b}$$

分母が $|\mathbf{b}{|}^2$ になるのは、$\mathbf{b}$ を単位ベクトルに直す分と影の長さを測る分で、$|\mathbf{b}|$ を 2 回割るからです。

残った $\mathbf{a}-{\mathrm{proj}}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}$ は $\mathbf{b}$ と直交する。実際に内積をとると打ち消し合って $0$ になります。

こうして $\mathbf{a}$ は、$\mathbf{b}$ に平行な成分と直交する成分にただ一通りに分かれる。

例：正射影ベクトルを求める

$\mathbf{u}=(4,5)$ を $\mathbf{v}=(5,-2)$ の向きへ落とす。

内積は $20-10=10$、$|\mathbf{v}{|}^2=25+4=29$ です。

$${\mathrm{proj}}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}=\frac{10}{29}(5,-2)=\left(\frac{50}{29},-\frac{20}{29}\right)$$

係数の $10/29$ が $1$ より小さいので、影は $\mathbf{v}$ より短くなる。係数が負なら、影は $\mathbf{v}$ と逆を向きます。

内積の性質

成分の定義から、3 つの性質がすぐ確かめられる。

対称性と第 1 変数の線形性を合わせると、第 2 変数の線形性も従います。両方について線形なので双線形性と呼ぶ。

この 3 つを公理として抜き出せば、成分を持たない空間でも内積が定義できる。関数の空間にも行列の空間にも、同じ形で内積が入ります。

正定値性だけは他の 2 つと役割が違う。対称性と線形性は計算規則ですが、正定値性は長さを定義できるようにする条件で、これが崩れると $\sqrt{\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}}$ が意味を持たなくなります。

ノルムとの関係

自分自身との内積が長さの二乗。

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=a_1^2+\cdots +a_n^2=|\mathbf{a}{|}^2$$

三平方の定理をそのまま書いた形になっています。実際の組み立てでは、内積を先に決めて長さをこの式で定義する順序をとる。

長さの測り方は 1 通りではありません。成分の絶対値を足す測り方のように、内積から来ないものもある。

距離も内積だけで書ける。$|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$ が 2 点の隔たりで、中身を展開すれば内積の組み合わせに戻ります。角度と長さと距離が、どれも同じ一つの演算から出てくる。

コーシー シュワルツの不等式

内積の絶対値が、長さの積を超えることはない。

$$|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|\le |\mathbf{a}||\mathbf{b}|$$

$\cos \theta$ の絶対値が $1$ 以下だと言っているだけに見えます。ところが角度を定義する前でも成り立つところに、この不等式の値打ちがある。

話はむしろ逆で、この不等式があるから $\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$ を余弦と見なせる。値が $-1$ から $1$ に収まる保証がなければ、なす角を定義できません。

判別式による証明

実数 $t$ を動かして、$\mathbf{a}t+\mathbf{b}$ の長さの二乗を眺める。

$$p(t)=|\mathbf{a}{|}^2{t}^2+2(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})t+|\mathbf{b}{|}^2$$

長さの二乗なので、どの $t$ でも $p(t)\ge 0$ です。$\mathbf{a}\ne 0$ なら $t$ の 2 次式で、下に凸の放物線が横軸より下へ出ない。

そのためには判別式が $0$ 以下でなければならない。

$$(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2-|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2\le 0$$

移項して平方根をとれば結論です。等号は放物線が横軸に接するとき、つまり $\mathbf{a}t+\mathbf{b}=0$ となる $t$ が存在するときに限る。

条件は単純で、2 つのベクトルが平行なとき。

この証明で使ったのは、対称性と線形性と正定値性の 3 つだけです。成分も次元も出てこないので、そのまま一般の内積空間で通用する。関数の空間で積分の不等式として現れるものも、中身は同じ論法です。

ラグランジュの恒等式による別証明

不等式の差がそのまま二乗和になる、という等式もある。

$$\left(\sum _k{a}_k^2\right)\left(\sum _k{b}_k^2\right)-{\left(\sum _k{a}_k{b}_k\right)}^2=\sum _{i<j}(a_i{b}_j-a_j{b}_i{)}^2$$

右辺は二乗の和なので $0$ 以上です。移項するだけでコーシー シュワルツの不等式が出る。

等号の条件も同じ式から読める。すべての $i<j$ で $a_i{b}_j=a_j{b}_i$ となるとき、つまり成分が比例するときです。

3 次元では、右辺が外積の長さの二乗になる。

$$|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2=|\mathbf{a}\times \mathbf{b}{|}^2$$

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ を、内積と外積の言葉に翻訳した式です。片方が大きいほど、もう片方は小さくなる。

例：ラグランジュの恒等式を確かめる

$\mathbf{a}=(1,2,3)$ と $\mathbf{b}=(-7,8,9)$ で両辺を出す。

$|\mathbf{a}{|}^2=14$、$|\mathbf{b}{|}^2=194$、内積は $36$ なので、左辺は $14\cdot 194-36^2=2716-1296=1420$ です。

外積は $\mathbf{a}\times \mathbf{b}=(-6,-30,22)$ で、長さの二乗は $36+900+484=1420$ になる。両辺が一致しました。

例：コーシー シュワルツで不等式を示す

実数 $a$、$b$、$c$ について次の不等式を示す。

$$(a+b+c{)}^2\le 3(a^2+b^2+c^2)$$

$\mathbf{u}=(1,1,1)$ と $\mathbf{v}=(a,b,c)$ に当てはめる。内積は $a+b+c$、$|\mathbf{u}{|}^2=3$、$|\mathbf{v}{|}^2=a^2+b^2+c^2$ です。

両辺を二乗した形が、そのまま求める式になります。等号は $\mathbf{v}$ が $\mathbf{u}$ に平行なとき、つまり $a=b=c$ のとき。

$a=1$、$b=2$、$c=3$ で試すと左辺が $36$、右辺が $42$ で、確かに成り立っています。

向きのそろい方を測る

内積を長さの積で割った値が余弦。

$$\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$$

この値をコサイン類似度と呼びます。$1$ なら同じ向き、$0$ なら直交、$-1$ なら真逆で、途中の値が向きのそろい方を表す。

長さで割っているので、ベクトルを何倍しても値は変わらない。文書を単語の出現回数のベクトルにすると、文書の長さに左右されずに主題の近さが測れます。

成分の数が数万になっても式は変わりません。高次元でそのまま使える手軽さが、応用側で選ばれる理由になっている。

行列で書く

縦ベクトルとして扱えば、内積は行列の積として書ける。

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}={\mathbf{a}}^{\mathsf{T}}\mathbf{b}$$

$1\times n$ と $n\times 1$ の積なので、結果は $1\times 1$ の行列、つまり数です。転置が要るのは、行と列の向きをそろえるため。

正定値対称行列 $M$ を間に挟んだ ${\mathbf{a}}^{\mathsf{T}}M\mathbf{b}$ も、内積の 3 条件を満たす。基底が直交していない座標系では、この形が本来の内積にあたります。

$M$ は基底ベクトルどうしの内積を並べた行列で、グラム行列と呼ばれる。$M$ が単位行列のときが、見なれた成分の積和です。

長さを保つ変換は内積を保つ

長さを変えない変換は、内積も変えない。回転や鏡映がそれにあたります。

理由は極化恒等式。内積が 3 つの長さだけで書けるので、長さが保たれれば内積も保たれます。

逆向きも成り立つ。内積が保たれれば、自分自身との内積である長さの二乗も保たれるからです。角度が変わらないことと長さが変わらないことは、同じ 1 つの条件。

力と変位の内積が仕事

物理では、力と変位の内積が仕事にあたる。力のうち動いた向きにそろっている分だけが効く、という事情が $\cos \theta$ に出ています。

まっすぐ押して押した向きへ動けば、仕事は力と距離の積そのものです。斜めに押せば $\cos \theta$ の分だけ目減りする。

真横に押しても物体が前へ進むなら、その力は仕事をしていません。内積が $0$ になるからで、直交していることと仕事がないことが同じ意味になる。

よくある誤り

参考文献