回転行列｜加法定理からロドリゲスの公式、軸と角の読み方まで

平面のベクトルを原点のまわりに $\theta$ だけ回す操作は、次の行列を掛けることで書けます。

$$R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

長さも角度も変えないので、直交行列になります。しかも行列式は $1$ で、向きを裏返しません。

3 次元では回転軸が加わり、話が少し複雑になります。順序を変えると結果が違う、という現象もここから出てきます。

<svg viewBox="0 0 460 230" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="22" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">行列の列は、基本ベクトルの行き先そのものです</text>
	<circle cx="230" cy="130" r="70" fill="none" stroke="#e5e5e5" stroke-width="1"></circle>
	<line x1="140" y1="130" x2="330" y2="130" stroke="#e5e5e5" stroke-width="1"></line>
	<line x1="230" y1="45" x2="230" y2="215" stroke="#e5e5e5" stroke-width="1"></line>
	<line x1="230" y1="130" x2="300" y2="130" stroke="#9a9a9a" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="304,130 295,126 295,134" fill="#9a9a9a"></polygon>
	<text x="308" y="127" font-size="11" fill="#9a9a9a">e<tspan font-size="8" dy="3">1</tspan></text>
	<line x1="230" y1="130" x2="284" y2="86" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"></line>
	<polygon points="288,83 278,84 283,91" fill="#1b81e0"></polygon>
	<text x="292" y="80" font-size="11" fill="#1b81e0">1 列目</text>
	<line x1="230" y1="130" x2="230" y2="60" stroke="#9a9a9a" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="230,56 226,65 234,65" fill="#9a9a9a"></polygon>
	<text x="238" y="58" font-size="11" fill="#9a9a9a">e<tspan font-size="8" dy="3">2</tspan></text>
	<line x1="230" y1="130" x2="186" y2="76" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"></line>
	<polygon points="183,73 187,83 192,76" fill="#1b81e0"></polygon>
	<text x="140" y="70" font-size="11" fill="#1b81e0">2 列目</text>
	<path d="M 275 130 A 45 45 0 0 0 262 101" fill="none" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></path>
	<text x="286" y="112" font-size="11" fill="#1b81e0">θ</text>
	<text x="230" y="222" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">長さは変わらず、直交したまま回ります</text>
</svg>

2 次元の回転行列

原点のまわりに反時計回りで $\theta$ 回す写像は線形です。だから行列で書けます。

その行列を求めるには、基本ベクトルの行き先を見れば足ります。$e_1=(1,0)$ は $(\cos \theta ,\sin \theta )$ へ、$e_2=(0,1)$ は $(-\sin \theta ,\cos \theta )$ へ移ります。

行列の列は基本ベクトルの行き先なので、この 2 本を並べたものが $R(\theta )$ です。第 2 列の符号は、$e_2$ を回すと左上へ向かうことから決まります。

直交行列で行列式が 1

列は長さ $1$ で互いに直交します。${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ と、2 列の内積が $-\cos \theta \sin \theta +\sin \theta \cos \theta =0$ から確かめられます。

したがって $R^{\top }R=I$ が成り立ち、$R$ は直交行列です。行列式は ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ です。

直交行列の行列式は $\pm 1$ に限られます。$+1$ のほうが回転で、$-1$ は向きを裏返す変換にあたります。

逆回転は転置で得られる

$R(\theta {)}^{-1}=R(-\theta )$ です。逆に回せばもとに戻る、という当たり前の事実を式にしたものです。

$\cos (-\theta )=\cos \theta$、$\sin (-\theta )=-\sin \theta$ を入れると、$R(-\theta )$ は $R(\theta )$ の転置になります。逆行列を求める計算は要りません。

例：具体的な角で回す

$\theta =30^{\circ }$ の行列を作ります。

$$R(30^{\circ })=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)$$

$(2,0)$ に掛けると $(\sqrt{3},1)$ に移ります。長さは $\sqrt{3+1}=2$ で、もとと同じです。

$(0,2)$ なら $(-1,\sqrt{3})$ です。こちらも長さは $2$ で、行き先どうしの内積も $-\sqrt{3}+\sqrt{3}=0$ になります。

積は角の和になる

2 回続けて回せば、角は足されます。行列の積で書けば次のとおりです。

$$R(\alpha )R(\beta )=R(\alpha +\beta )$$

平面の回転どうしは順序を入れ替えられます。$\alpha +\beta$ と $\beta +\alpha$ が同じだからです。

例：積から加法定理が出る

左辺を成分で計算します。$(1,1)$ 成分は $\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ です。

右辺の $(1,1)$ 成分は $\cos (\alpha +\beta )$ なので、余弦の加法定理が出てきます。$(2,1)$ 成分を比べれば正弦の加法定理です。

具体的な数でも確かめられます。$R(30^{\circ })R(60^{\circ })$ を計算すると $(0,-1;1,0)$ となり、$R(90^{\circ })$ に一致します。

例：有理数だけでできる回転

角が特別な値でなくても、成分が有理数になることがあります。$5$、$12$、$13$ の直角三角形を使います。

$$R=\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{13}& -\frac{12}{13}\\ \frac{12}{13}& \frac{5}{13}\end{array}\right)$$

${\left(\frac{5}{13}\right)}^2+{\left(\frac{12}{13}\right)}^2=\frac{25+144}{169}=1$ なので、確かに回転行列です。

角そのものは $\arctan \frac{12}{5}$ で、きれいな値にはなりません。それでも成分は分数だけで書けます。

3 次元：座標軸まわりの回転

軸を決めれば、3 次元の回転も行列で書けます。$z$ 軸まわりなら、$z$ 成分はそのままで、$xy$ 平面の中だけが回ります。

$$R_z(\theta )=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

$x$ 軸まわりと $y$ 軸まわりも同じ形です。動かない軸の位置に $1$ が入り、残りの 2 次のブロックが平面の回転になります。

$y$ 軸まわりだけは符号の位置が違って見えます。$z$ から $x$ へ回る向きが正なので、$\sin$ の符号が入れ替わるからです。

<svg viewBox="0 0 460 220" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="22" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">軸は動かず、それに垂直な平面の中だけが回ります</text>
	<ellipse cx="230" cy="140" rx="110" ry="35" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.08" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></ellipse>
	<line x1="230" y1="185" x2="230" y2="50" stroke="#1f1f1f" stroke-width="1.5"></line>
	<polygon points="230,44 226,54 234,54" fill="#1f1f1f"></polygon>
	<text x="240" y="52" font-size="12" fill="#1f1f1f">軸 n</text>
	<line x1="230" y1="140" x2="330" y2="128" stroke="#9a9a9a" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="335,127 326,124 327,132" fill="#9a9a9a"></polygon>
	<text x="340" y="124" font-size="11" fill="#9a9a9a">x</text>
	<line x1="230" y1="140" x2="300" y2="163" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"></line>
	<polygon points="305,165 296,160 295,168" fill="#1b81e0"></polygon>
	<text x="308" y="176" font-size="11" fill="#1b81e0">回した先</text>
	<path d="M 300 133 A 75 24 0 0 0 288 156" fill="none" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></path>
	<text x="312" y="148" font-size="11" fill="#1b81e0">θ</text>
	<circle cx="230" cy="140" r="3" fill="#1f1f1f"></circle>
	<text x="230" y="208" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">軸の方向の成分は変わりません</text>
</svg>

例：z 軸まわりに 90 度回す

$\theta =90^{\circ }$ を入れると、$\cos =0$、$\sin =1$ です。

$$R_z(90^{\circ })=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

$x$ 軸方向の $(1,0,0)$ は $(0,1,0)$ へ移ります。$x$ 軸が $y$ 軸へ倒れる向きです。

$z$ 軸方向の $(0,0,1)$ は動きません。第 3 列が $(0,0,1)$ のままであることが、そのまま軸の不動を表しています。

任意の軸まわりの回転

単位ベクトル $n$ を軸として $\theta$ 回す行列は、次の式で書けます。ロドリゲスの回転公式といいます。

$$R=(\cos \theta )I+(1-\cos \theta )n{n}^{\top }+(\sin \theta )[n{]}_{\times }$$

$[n{]}_{\times }$ は外積を表す交代行列で、$[n{]}_{\times }x=n\times x$ を満たします。

3 つの項の役割は分かれています。$n{n}^{\top }$ は軸方向の成分を取り出し、残りが軸に垂直な平面の中での回転を作ります。

例：ロドリゲスの公式で置換行列を作る

軸を $n=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$、角を $120^{\circ }$ とします。$\cos \theta =-\frac{1}{2}$、$\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$n{n}^{\top }$ は成分がすべて $\frac{1}{3}$ の行列、$[n{]}_{\times }$ は $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 倍の交代行列になります。公式に入れると、係数がきれいに整理されます。

$$R=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$$

座標を巡回させる置換行列が出てきました。$x$ 軸が $y$ 軸へ、$y$ 軸が $z$ 軸へ、$z$ 軸が $x$ 軸へ移ります。

軸 $(1,1,1)$ のまわりに $120^{\circ }$ 回すと 3 本の座標軸が入れ替わる、という図形の事実が、行列の形で確かめられました。

トレースと固有値から軸と角が読める

3 次の回転行列のトレースは、角だけで決まります。

$$\mathrm{tr}R=1+2\cos \theta$$

固有値は $1$ と $e^{\pm i\theta }$ です。固有値 $1$ に対応する固有ベクトルが回転軸で、その方向だけが動きません。

行列が与えられたとき、トレースから角を、$Rx=x$ を解いて軸を求められます。回転の情報が、この 2 つに集約されています。

例：置換行列から軸と角を読む

さきほどの置換行列を、公式を知らないつもりで調べます。

トレースは $0+0+0=0$ です。$1+2\cos \theta =0$ から $\cos \theta =-\frac{1}{2}$、つまり $\theta =120^{\circ }$ が出ます。

軸は $Rx=x$ を解けば求まります。$x_3=x_1$、$x_1=x_2$、$x_2=x_3$ から $x=(1,1,1)$ の定数倍です。

行列を見ただけでは分かりにくい軸と角が、2 つの手順で取り出せました。

3 次元では順序を変えると結果が違う

平面の回転は入れ替えられますが、3 次元では成り立ちません。軸が違えば、掛ける順序で結果が変わります。

例：順序を入れ替えてみる

$x$ 軸まわりと $z$ 軸まわりの $90^{\circ }$ 回転を、順序を変えて掛けます。

$$R_x(90^{\circ })R_z(90^{\circ })=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& -1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$

$$R_z(90^{\circ })R_x(90^{\circ })=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$$

まるで違う行列です。後者はさきほどの置換行列で、軸は $(1,1,1)$ です。前者の軸を求めると $(1,-1,1)$ の方向になります。

本を持って、机の上で 2 通りの順に回してみると、向きが食い違うことがすぐ分かります。

行列式が -1 なら鏡映が混じる

直交行列の行列式は $\pm 1$ です。$-1$ のほうは、回転だけでは作れません。

たとえば $\mathrm{diag}(1,1,-1)$ は $xy$ 平面に関する鏡映です。右手系が左手系に変わるので、どんなに回しても一致しません。

回転行列とは、直交行列のうち行列式が $1$ のものを指します。この集まりを $SO(3)$ と書き、回転群と呼びます。

例：鏡映を 2 回すると回転になる

行列式が $-1$ どうしを掛ければ、行列式は $1$ に戻ります。鏡映を 2 回続けると回転になる、ということです。

$x$ 軸に関する鏡映と、直線 $y=x$ に関する鏡映を用意します。

$$F_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),F_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

どちらも行列式は $-1$ です。積を作ります。

$$F_2{F}_1=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

$90^{\circ }$ の回転が出てきました。2 本の鏡の間の角は $45^{\circ }$ なので、その 2 倍だけ回ったことになります。

順序を入れ替えると $-90^{\circ }$ の回転になります。鏡映どうしも、掛ける順序で結果が変わります。

別の表し方

3 つの角で表すオイラー角は、座標軸まわりの回転を 3 回続ける書き方です。使う軸の順序に流儀がいくつもあり、混乱のもとになります。

交代行列を指数関数に入れる書き方もあります。$\exp$ の像が回転になり、ロドリゲスの公式は $\exp (\theta [n{]}_{\times })$ を展開したものにあたります。

四元数を使う表し方は、成分が 4 つで済み、合成も掛け算だけで書けます。計算機で姿勢を扱うときは、この形がよく使われます。

他の話題とのつながり

直交行列そのものの性質は、ユニタリ行列と直交行列の記事にあります。交代行列と回転の関係は交代行列の記事で、指数関数の一般論は行列の指数関数の記事で扱っています。

QR 分解で使うギブンス回転は、$2$ 次の回転を大きな行列の一部に埋め込んだものです。成分をひとつずつ消すのに使われます。

よくある誤り

参考文献