交代行列（歪対称行列）｜固有値が純虚数になる理由と直交行列による標準形

正方行列 $A$ が $A^{\top }=-A$ を満たすとき、$A$ を交代行列といいます。歪対称行列、反対称行列とも呼びます。

成分で書けば $a_{ij}=-a_{ji}$ です。対角成分は自分自身と符号違いで等しくなるため、実数や複素数の範囲では必ず $0$ になります。

条件はこの一行だけです。ところがここから、行列式・階数・固有値のそれぞれに強い制約が生まれます。

<svg viewBox="0 0 460 250" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="22" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">対角は 0、対称の位置にある成分は符号だけが違います</text>
	<rect x="90" y="36" width="70" height="45" fill="#f5f5f5"></rect>
	<rect x="160" y="81" width="70" height="45" fill="#f5f5f5"></rect>
	<rect x="230" y="126" width="70" height="45" fill="#f5f5f5"></rect>
	<rect x="300" y="171" width="70" height="45" fill="#f5f5f5"></rect>
	<rect x="160" y="36" width="210" height="45" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.1"></rect>
	<rect x="230" y="81" width="140" height="45" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.1"></rect>
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	<rect x="90" y="36" width="280" height="180" fill="none" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<text x="125" y="64" font-size="13" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="195" y="64" font-size="13" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">a</text>
	<text x="265" y="64" font-size="13" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">b</text>
	<text x="335" y="64" font-size="13" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">c</text>
	<text x="125" y="109" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">-a</text>
	<text x="195" y="109" font-size="13" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="265" y="109" font-size="13" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">d</text>
	<text x="335" y="109" font-size="13" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">e</text>
	<text x="125" y="154" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">-b</text>
	<text x="195" y="154" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">-d</text>
	<text x="265" y="154" font-size="13" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="335" y="154" font-size="13" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">f</text>
	<text x="125" y="199" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">-c</text>
	<text x="195" y="199" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">-e</text>
	<text x="265" y="199" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">-f</text>
	<text x="335" y="199" font-size="13" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="230" y="238" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">4 次で自由に選べるのは、上に並ぶ 6 個の成分だけです</text>
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交代行列の定義

$n$ 次正方行列 $A$ が交代行列であるとは、転置が符号を変えたものに一致することをいいます。

$$A^{\top }=-A$$

対角成分については $a_{ii}=-a_{ii}$ となり、$2a_{ii}=0$ から $a_{ii}=0$ が従います。トレースはつねに $0$ です。

3 次の交代行列は次の形に限られます。

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& a& b\\ -a& 0& c\\ -b& -c& 0\end{array}\right)$$

自由に選べるのは対角より上の成分だけで、下の成分は符号を変えて写せば決まります。

対称部分と交代部分に分ける

任意の正方行列は、対称行列と交代行列の和にただ一通りに分かれます。

$$A=\frac{A+A^{\top }}{2}+\frac{A-A^{\top }}{2}$$

第 1 項は転置しても変わらないので対称行列、第 2 項は転置すると符号が変わるので交代行列です。

一意性も短く示せます。対称かつ交代である行列は $B=-B$ を満たすので零行列しかなく、2 通りの分解の差を取ると、対称行列と交代行列が等しいという式に行き着くからです。

例：3 次の行列を 2 つに分ける

次の行列で分解を確かめます。

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$$

転置を足して $2$ で割ると対称部分が出ます。

$$\frac{A+A^{\top }}{2}=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 3& 5& 7\\ 5& 7& 9\end{array}\right)$$

引いて $2$ で割ると交代部分です。対角成分がすべて $0$ になっている点に注目してください。

$$\frac{A-A^{\top }}{2}=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& -2\\ 1& 0& -1\\ 2& 1& 0\end{array}\right)$$

2 つを足すと元の $A$ に戻ります。$(1,2)$ 成分なら $3+(-1)=2$、$(2,1)$ 成分なら $3+1=4$ という具合です。

交代行列のなす空間の次元

交代行列どうしの和もスカラー倍も交代行列になるので、$n$ 次の交代行列全体はベクトル空間をなします。

次元は対角より上に並ぶ成分の個数、つまり $n(n-1)/2$ です。2 次で $1$、3 次で $3$、4 次で $6$ となります。

対称行列全体の次元 $n(n+1)/2$ と足せば $n^2$ になり、正方行列全体の次元と一致します。さきほどの分解が一通りしかないことと、ちょうど対応する数え方です。

二次形式が恒等的に 0 になる

交代行列では、どんな実ベクトル $x$ を取っても $x^{\top }Ax=0$ が成り立ちます。

$x^{\top }Ax$ は $1\times 1$ 行列、すなわちスカラーなので、転置しても値が変わりません。そこで転置を取ると次の計算になります。

$$x^{\top }Ax=(x^{\top }Ax{)}^{\top }=x^{\top }{A}^{\top }x=-x^{\top }Ax$$

自分自身と符号違いで等しいのですから、値は $0$ に決まります。内積の言葉でいえば、$Ax$ はつねに $x$ と直交します。

逆向きも成り立ちます。実行列 $A$ がすべての $x$ で $x^{\top }Ax=0$ を満たすなら、$x=e_i$ から $a_{ii}=0$ が、$x=e_i+e_j$ から $a_{ij}+a_{ji}=0$ が出て、$A$ は交代行列です。

奇数次の行列式が 0 になる理由

行列式は転置で変わらず、スカラー倍については $\det (cA)=c^n\det A$ が成り立ちます。この 2 つを $A^{\top }=-A$ に当てはめます。

$$\det A=\det A^{\top }=\det (-A)=(-1{)}^n\det A$$

$n$ が奇数なら $\det A=-\det A$ となり、$\det A=0$ が出ます。奇数次の交代行列は正則になりません。

行列式が $0$ ということは、$0$ が固有値だということでもあります。3 次や 5 次の交代行列には、$Ax=0$ を満たす $0$ でないベクトルが必ず存在します。

偶数次の行列式とパフィアン

偶数次では事情が変わり、行列式は $0$ とは限りません。しかも、つねに何かの平方の形をしています。

2 次なら $a^2$ です。

$$\det \left(\begin{array}{cc}0& a\\ -a& 0\end{array}\right)=a^2$$

4 次の成分を次のように置きます。

$$A=\left(\begin{array}{cccc}0& a& b& c\\ -a& 0& d& e\\ -b& -d& 0& f\\ -c& -e& -f& 0\end{array}\right)$$

このとき行列式は次の量の平方になります。

$$\mathrm{Pf}(A)=af-be+cd$$

この多項式をパフィアンといい、一般の偶数次でも $\det A=\mathrm{Pf}(A{)}^2$ が成り立ちます。奇数次では $\mathrm{Pf}(A)=0$ と定めます。

パフィアンは合同変換のもとで $\mathrm{Pf}(B^{\top }AB)=\det (B)\mathrm{Pf}(A)$ と振る舞います。両辺を 2 乗すれば、行列式が $\det (B{)}^2$ 倍になるという見なれた式に戻ります。

実交代行列ではパフィアンが実数なので、行列式は $0$ 以上です。行列式が負になる実交代行列は存在しません。

例：4 次の行列式をパフィアンで確かめる

上の形で $a=1$、$b=2$、$c=3$、$d=4$、$e=5$、$f=6$ と置きます。

$$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ -1& 0& 4& 5\\ -2& -4& 0& 6\\ -3& -5& -6& 0\end{array}\right)$$

パフィアンは $1\cdot 6-2\cdot 5+3\cdot 4=8$ です。

行列式を余因子展開で計算すると $64$ になり、$8^2$ と一致します。$4$ 次の行列式は $24$ 個の項の和ですが、交代性のおかげで多くが打ち消し合い、平方の形に落ち着くわけです。

符号まで込めた情報を持つのはパフィアンのほうです。行列式からは $\pm 8$ のどちらかまでしか復元できません。

固有値が純虚数になる理由

実交代行列の固有値は、$0$ か純虚数のどちらかです。実数の固有値を持つとしたら $0$ に限られます。

$A$ を実交代行列、$\lambda$ をその固有値、$v\ne 0$ を対応する固有ベクトルとします。複素数の範囲で考え、共役転置を $\ast$ で表します。

$Av=\lambda v$ の左から $v^{\ast }$ を掛けると $v^{\ast }Av=\lambda \Vert v{\Vert }^2$ になります。この左辺の共役転置を取ってみます。

$$(v^{\ast }Av{)}^{\ast }=v^{\ast }{A}^{\ast }v=v^{\ast }{A}^{\top }v=-v^{\ast }Av$$

$A$ が実行列なので $A^{\ast }=A^{\top }$ が使え、最後に交代性が効きました。共役が自分自身の符号違いに等しいスカラーは、純虚数のほかにありません。

$\Vert v{\Vert }^2$ は正の実数ですから、$\lambda$ も純虚数です。固有多項式が実係数であることと合わせると、$0$ でない固有値は $i\mu$ と $-i\mu$ の対で現れます。

例：3 次の交代行列の固有値

次の行列の固有値を求めます。

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& -2& 1\\ 2& 0& -2\\ -1& 2& 0\end{array}\right)$$

$\lambda I-A$ の行列式を第 1 行で余因子展開します。

$$\det (\lambda I-A)=\lambda ({\lambda }^2+4)-2(-2\lambda -2)-(4-\lambda )$$

整理すると ${\lambda }^3+9\lambda =\lambda ({\lambda }^2+9)$ となり、固有値は $0$ と $\pm 3i$ です。純虚数が符号の対で現れ、残りが $0$ という予想どおりの並びになりました。

この $A$ は $a=(2,1,2)$ に対する外積行列で、$Ax=a\times x$ が成り立ちます。$0$ でない固有値の絶対値 $3$ は、$a$ の長さ $\sqrt{4+1+4}$ にほかなりません。

階数が必ず偶数になる理由

実交代行列は $A^{\top }A=-A^2=A{A}^{\top }$ を満たすので、正規行列です。したがってユニタリ行列で対角化でき、階数は $0$ でない固有値の個数に等しくなります。

その固有値は $\pm i\mu$ の対で現れるのですから、個数は偶数です。実交代行列の階数は必ず偶数になります。

奇数次で階数が $n$ に届かないことも、ここから読み取れます。行列式が $0$ になるという先ほどの結論に、別の道から着いたことになります。

直交行列による標準形

実交代行列は、実数の範囲では対角行列に相似になりません。$0$ でない固有値が実数ではないからです。届く先は 2 次のブロックを並べた形になります。

直交行列 $Q$ をうまく選ぶと、次の形に整います。

$$Q^{\top }AQ=\left(\begin{array}{cccc}{B}_1& & & \\ & \ddots & & \\ & & B_k& \\ & & & O\end{array}\right)$$

各ブロックは正の数 ${\mu }_j$ を使って次のように書けます。

$$B_j=\left(\begin{array}{cc}0& -{\mu }_j\\ {\mu }_j& 0\end{array}\right)$$

$B_j$ の固有値は $\pm i{\mu }_j$ です。末尾の零行列 $O$ の大きさは固有値 $0$ の重複度にあたり、$n-2k$ に等しくなります。

<svg viewBox="0 0 460 250" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="22" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">直交行列で挟むと、2 次のブロックが対角に並びます</text>
	<rect x="130" y="36" width="200" height="200" fill="none" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<rect x="130" y="36" width="80" height="80" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.12" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></rect>
	<rect x="210" y="116" width="80" height="80" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.12" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></rect>
	<rect x="290" y="196" width="40" height="40" fill="#f5f5f5" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<text x="170" y="82" font-size="13" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">B<tspan font-size="9" dy="3">1</tspan></text>
	<text x="250" y="162" font-size="13" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">B<tspan font-size="9" dy="3">2</tspan></text>
	<text x="310" y="222" font-size="13" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">O</text>
	<text x="230" y="72" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="230" y="182" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="230" y="248" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">零ブロックの大きさは、固有値 0 の重複度に等しくなります</text>
</svg>

各ブロックは、対応する平面のなかで $90$ 度回して ${\mu }_j$ 倍する働きをします。交代行列は互いに直交する平面ごとに回転を生む、と読み替えられます。

例：外積行列を標準形にする

先ほどの $a=(2,1,2)$ の外積行列で、標準形を作ります。$Ax=a\times x$ でした。

$a$ 方向の単位ベクトルを $u$、$a$ に直交する単位ベクトルを $v$、両者の外積を $w$ と置きます。

$$u=\frac{1}{3}(2,1,2),v=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1),w=\frac{1}{3\sqrt{2}}(-1,4,-1)$$

外積を計算すると $Av=3w$、$Aw=-3v$、$Au=0$ が確かめられます。$u$ は回転軸なので動かず、残る 2 本が平面のなかで入れ替わるわけです。

これらを列に並べた $Q=(vwu)$ は直交行列で、標準形が現れます。

$$Q^{\top }AQ=\left(\begin{array}{ccc}0& -3& 0\\ 3& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

$a$ に垂直な平面のなかで $90$ 度回して $3$ 倍する、というのが $A$ の正体でした。倍率の $3$ は、さきほどの固有値 $\pm 3i$ と同じ数です。

ケイリー変換で直交行列を作る

実交代行列 $A$ に対して、$I+A$ は必ず正則です。固有値が $1+i\mu$ の形になり、$0$ にならないからです。

そこで次の行列を作ります。

$$Q=(I-A)(I+A{)}^{-1}$$

これをケイリー変換といいます。$Q$ が直交行列であることは、転置を書き下せば見えてきます。

$$Q^{\top }Q=(I-A{)}^{-1}(I+A)(I-A)(I+A{)}^{-1}=I$$

$(I+A)(I-A)$ と $(I-A)(I+A)$ はどちらも $I-A^2$ に等しく、真ん中が打ち消し合うという仕掛けです。

逆向きの対応もあります。固有値 $-1$ を持たない直交行列 $Q$ から $(I-Q)(I+Q{)}^{-1}$ を作れば交代行列に戻り、両者が 1 対 1 に対応します。

例：2 次のケイリー変換

次の交代行列から出発します。

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$

$I+A$ の行列式は $1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$ なので、逆行列が次のように求まります。

$$(I+A{)}^{-1}=\frac{4}{5}\left(\begin{array}{cc}1& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& 1\end{array}\right)$$

左から $I-A$ を掛けると、有理数だけでできた直交行列が出てきます。

$$Q=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{5}& \frac{4}{5}\\ -\frac{4}{5}& \frac{3}{5}\end{array}\right)$$

各列の長さは $1$、2 本の列は直交し、行列式は $1$ です。$\cos \theta =\frac{3}{5}$、$\sin \theta =-\frac{4}{5}$ の回転にあたります。

ピタゴラス数から直交行列を作る方法としても使えます。平方根を経由せずに済むところが、この変換の便利な点です。

指数関数と回転

交代行列を指数関数に入れると直交行列になります。$\exp (A{)}^{\top }=\exp (A^{\top })=\exp (-A)$ が $\exp (A)$ の逆行列にあたるからです。

行列式は $\det \exp (A)=e^{\mathrm{tr}A}=1$ です。トレースが $0$ という性質が、ここで効いてきます。

2 次では回転行列そのものが現れます。

$$\exp \left(\begin{array}{cc}0& -\theta \\ \theta & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

交代行列全体は回転群 $SO(n)$ の単位元における接空間にあたり、$\mathfrak{so}(n)$ と書かれます。指数関数そのものの扱いは、行列の指数関数の記事に譲ります。

他の話題とのつながり

実交代行列は正規行列なので、複素数の範囲ではユニタリ行列で対角化できます。対角に並ぶのは純虚数で、証明は正規行列の記事にあります。

$iA$ を作るとエルミート行列になります。固有値が実数という結果と、純虚数という結果が $i$ 倍で行き来する関係です。複素数まで広げた対応物が歪エルミート行列になります。

3 次の交代行列はベクトルの外積と 1 対 1 に対応します。回転の生成子という見方は、力学や計算機グラフィックスで角速度を扱うときに顔を出します。

二次形式の理論が対称行列だけを相手にする理由も、ここまでの話でわかります。交代部分は $x^{\top }Ax$ に何も残さないので、はじめから捨てて差し支えないのです。

よくある誤り

参考文献