行列のトレースとは｜性質と固有値の和になる理由

正方行列 $A$ の対角成分をすべて足した値を、 $A$ のトレース（跡）といいます。

$tr A = i = 1 \sum n a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}$

定義は足し算だけですが、この量は行列の見かけによらない情報を持っています。相似変換で変わらず、固有値の和に等しくなります。

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	<text x="48" y="26" font-size="11" fill="#1f1f1f">左上から右下へ並ぶ成分だけを足す</text>
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	<text x="165" y="73" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">a11</text>
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	<text x="305" y="73" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">a13</text>
	<text x="165" y="108" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">a21</text>
	<text x="235" y="108" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">a22</text>
	<text x="305" y="108" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">a23</text>
	<text x="165" y="143" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">a31</text>
	<text x="235" y="143" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">a32</text>
	<text x="305" y="143" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">a33</text>
	<text x="352" y="108" font-size="11" fill="#1b81e0">この 3 つの和</text>
	<text x="48" y="178" font-size="11" fill="#9a9a9a">正方行列でなければ対角成分がそろわないので、トレースは定義しません</text>
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線形性

トレースは和とスカラー倍を保ちます。対角成分ごとに足し算をしているだけなので、証明は定義の書き換えで終わります。

$tr (A + B) = tr A + tr B, tr (c A) = c tr A$

行列を成分の並びと見ると、トレースは $n^{2}$ 個の成分のうち対角の $n$ 個だけを拾って足す線形写像です。

転置しても変わらない

転置は $i$ 行 $j$ 列と $j$ 行 $i$ 列を入れ替える操作なので、対角成分は動きません。

$tr A^{⊤} = tr A$

行列式が $det A^{⊤} = det A$ を満たすのと同じく、行と列のどちらから見ても同じ値になります。

積の順序を入れ替えても変わらない

トレースの性質でいちばん使うのが次の等式です。積そのものは順序で変わるのに、トレースは変わりません。

$tr (A B) = tr (B A)$

証明は二重和に開くだけです。まず左辺を書きます。 $A B$ の $(i, i)$ 成分は $\sum_{j} a_{ij} b_{j i}$ です。

$tr (A B) = i \sum j \sum a_{ij} b_{j i}$

次に右辺を書きます。 $B A$ の $(j, j)$ 成分は $\sum_{i} b_{j i} a_{ij}$ です。

$tr (B A) = j \sum i \sum b_{j i} a_{ij}$

どちらも $a_{ij} b_{j i}$ を全部の $(i, j)$ について足したものです。足す順序が違うだけなので、値は一致します。

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	<text x="48" y="26" font-size="11" fill="#1f1f1f">同じ格子を、行ごとに足すか列ごとに足すかの違いだけです</text>
	<rect x="90" y="60" width="270" height="102" fill="none" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<line x1="180" y1="60" x2="180" y2="162" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="270" y1="60" x2="270" y2="162" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="90" y1="94" x2="360" y2="94" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"></line>
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	<text x="135" y="82" font-size="10" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">a11 b11</text>
	<text x="225" y="82" font-size="10" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">a12 b21</text>
	<text x="315" y="82" font-size="10" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">a13 b31</text>
	<text x="135" y="116" font-size="10" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">a21 b12</text>
	<text x="225" y="116" font-size="10" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">a22 b22</text>
	<text x="315" y="116" font-size="10" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">a23 b32</text>
	<text x="135" y="150" font-size="10" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">a31 b13</text>
	<text x="225" y="150" font-size="10" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">a32 b23</text>
	<text x="315" y="150" font-size="10" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">a33 b33</text>
	<line x1="366" y1="77" x2="386" y2="77" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<line x1="366" y1="111" x2="386" y2="111" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<line x1="366" y1="145" x2="386" y2="145" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="386,73 394,77 386,81" fill="#1b81e0"></polygon>
	<polygon points="386,107 394,111 386,115" fill="#1b81e0"></polygon>
	<polygon points="386,141 394,145 386,149" fill="#1b81e0"></polygon>
	<text x="398" y="115" font-size="11" fill="#1b81e0">行の和</text>
	<line x1="135" y1="168" x2="135" y2="184" stroke="#d0562a" stroke-width="1"></line>
	<line x1="225" y1="168" x2="225" y2="184" stroke="#d0562a" stroke-width="1"></line>
	<line x1="315" y1="168" x2="315" y2="184" stroke="#d0562a" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="131,184 135,192 139,184" fill="#d0562a"></polygon>
	<polygon points="221,184 225,192 229,184" fill="#d0562a"></polygon>
	<polygon points="311,184 315,192 319,184" fill="#d0562a"></polygon>
	<text x="225" y="208" font-size="11" fill="#d0562a" text-anchor="middle">列の和</text>
	<text x="48" y="52" font-size="11" fill="#9a9a9a">行の和が tr(AB)、列の和が tr(BA) にあたります</text>
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正方行列でなくてもかまいません。 $A$ が $m \times n$ 、 $B$ が $n \times m$ なら $A B$ は $m$ 次、 $B A$ は $n$ 次の正方行列になり、大きさが違うのにトレースは一致します。

例：積は変わるのにトレースは同じ

次の $2$ つで確かめます。

$X = (1324), Y = (0110)$

$X Y$ と $Y X$ を計算します。

$X Y = (2413), Y X = (3142)$

行列としては別物ですが、対角成分の和はどちらも $5$ です。

$tr (X Y) = 2 + 3 = 5, tr (Y X) = 3 + 2 = 5$

巡回はできても並べ替えはできない

$3$ つ以上の積では、順番をずらす操作だけが許されます。 $A B$ をひとかたまりと見て等式を使えば出ます。

$tr (A B C) = tr ((A B) C) = tr (C (A B)) = tr (C A B)$

同じ手順で $tr (B C A)$ にもなります。輪をずらすように動かすので、巡回性といいます。

一方、 $B$ と $C$ を入れ替える操作は許されません。反例を作ります。

$A = (1000), B = (0010), C = (0100)$

順に掛けると $B C$ が $A$ に一致するので、 $A B C = A$ です。

$tr (A B C) = 1$

ところが $C B$ は右下だけが $1$ の行列で、 $A$ を掛けると零行列になります。

$tr (A C B) = 0$

値が違うので、任意の並べ替えは成り立ちません。使えるのは巡回だけです。

相似な行列のトレースは等しい

正則行列 $P$ による変換でトレースが動かないことは、積の等式から $1$ 行で出ます。

$tr (P^{- 1} A P) = tr ((P^{- 1}) (A P)) = tr ((A P) (P^{- 1})) = tr (A)$

基底を取り替えても線形写像そのものは変わりません。トレースはその「変わらない部分」を測る量のひとつです。

例：相似変換で確かめる

次の行列で試します。

$A = (3214), P = (1011)$

$P$ の逆行列は右上の符号を変えたものです。順に掛けます。

$P^{- 1} A P = (10 - 1 1) (3246) = (12 - 2 6)$

成分はすっかり変わりましたが、トレースはどちらも $7$ です。

固有値の和になる理由

トレースが固有値の和に等しいことを示します。固有多項式の係数を比べるのが近道です。

$φ (λ) = det (λ I - A)$

行列式を定義どおり展開すると、 $n$ 個の成分の積が並びます。 $λ$ を含む成分は対角に限られるので、 $λ^{n - 1}$ 以上の次数を作れるのは対角成分をすべて選ぶ項だけです。

対角以外を $1$ つでも選ぶと、対角成分を少なくとも $2$ つ落とすことになり、次数が $n - 2$ 以下に下がります。

$φ (λ) = (λ - a_{11}) (λ - a_{22}) \dots (λ - a_{nn}) + R (λ)$

ここで $R (λ)$ の次数は $n - 2$ 以下です。前半を展開すると、 $λ^{n - 1}$ の係数は対角成分の和に負号をつけたものになります。

$φ (λ) = λ^{n} - (tr A) λ^{n - 1} + \dots$

一方、固有値を $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ とすると、複素数の範囲で固有多項式は $1$ 次式の積に分解します。

$φ (λ) = (λ - λ_{1}) (λ - λ_{2}) \dots (λ - λ_{n})$

こちらを展開したときの $λ^{n - 1}$ の係数は $- (λ_{1} + \dots + λ_{n})$ です。同じ多項式の係数なので一致します。

$tr A = λ_{1} + λ_{2} + \dots + λ_{n}$

重複度をこめて数えることに注意してください。対角化できない行列でも成り立ちます。

なお定数項を比べれば $det A = λ_{1} λ_{2} \dots λ_{n}$ が出ます。トレースと行列式は、固有値の和と積を見ていることになります。

例：2 次の固有値をトレースと行列式から出す

$2$ 次では固有多項式が $λ^{2} - (tr A) λ + det A$ という形をしています。成分を書き下さなくても、 $2$ つの数だけで固有値が求まります。

$C = (41 - 2 1)$

トレースは $5$ 、行列式は $4 \cdot 1 - (- 2) \cdot 1 = 6$ です。

$λ^{2} - 5 λ + 6 = 0$

因数分解して $λ = 2, 3$ を得ます。和が $5$ 、積が $6$ で、どちらも合っています。

例：3 次で係数を確かめる

次の行列で固有多項式を計算します。

$B = 201130014$

トレースは $2 + 3 + 4 = 9$ です。固有多項式を第 $1$ 列で余因子展開すると次のようになります。

$det (λ I - B) = (λ - 2) (λ - 3) (λ - 4) - 1$

展開します。

$= λ^{3} - 9 λ^{2} + 26 λ - 25$

$λ^{2}$ の係数が $- 9$ で、トレースに負号をつけた値になりました。固有値を求めなくても和が分かります。

対角成分そのものは固有値ではない

和が一致するだけで、成分と固有値が個別に対応するわけではありません。

$R = (0110)$

トレースは $0$ 、行列式は $- 1$ なので、固有多項式は $λ^{2} - 1$ です。固有値は $1$ と $- 1$ になります。

対角成分は両方とも $0$ で、固有値のどちらとも一致しません。それでも和は $0 + 0 = 1 + (- 1)$ で合っています。

交換子のトレースは 0 になる

$A B - B A$ の形を交換子といいます。トレースを取ると必ず消えます。

$tr (A B - B A) = tr (A B) - tr (B A) = 0$

ここから、行列の方程式について強い結論が出ます。次の等式を満たす $A, B$ は存在しません。

$A B - B A = I$

左辺のトレースは $0$ 、右辺のトレースは $n$ で、 $n \geq 1$ なら一致しないからです。成分を一つも計算せずに解の不存在が言えます。

トレースを特徴づける性質

線形であることと $tr (A B) = tr (B A)$ を満たすことだけで、トレースはほぼ決まってしまいます。

$f$ を $n$ 次正方行列上の線形汎関数とし、すべての $A, B$ で $f (A B) = f (B A)$ が成り立つとします。 $(i, j)$ 成分だけが $1$ で残りが $0$ の行列を $E_{ij}$ と書きます。

積の規則は $E_{ij} E_{k l} = δ_{j k} E_{i l}$ です。まず $i \neq = j$ の場合を調べます。

$f (E_{ij}) = f (E_{ii} E_{ij}) = f (E_{ij} E_{ii}) = f (0) = 0$

$E_{ij} E_{ii}$ が零行列になるのは、 $j \neq = i$ だからです。次に対角の場合を調べます。

$f (E_{ii}) = f (E_{ij} E_{j i}) = f (E_{j i} E_{ij}) = f (E_{j j})$

つまり $f (E_{11}) = \dots = f (E_{nn})$ で、この共通の値を $c$ と置きます。任意の行列を $E_{ij}$ の線形結合に書いて線形性を使います。

$f (A) = i, j \sum a_{ij} f (E_{ij}) = c i \sum a_{ii} = c tr A$

$f (I) = n$ という条件を足せば $c = 1$ となり、 $f$ はトレースそのものになります。

対角成分を足すという定義は、いかにも人為的に見えます。しかしこの結果は、線形性と積の可換性だけからトレースが必然的に出てくることを言っています。

他の話題とのつながり

$tr (A^{⊤} A)$ は全成分の二乗和に等しく、その平方根がフロベニウスノルムです。行列のノルムの記事で詳しく扱います。

べき等行列 $P$ では $tr P$ がランクに一致します。固有値が $0$ と $1$ しかないことから出る結果で、射影行列の記事の話題です。

行列の指数関数については $det (e^{A}) = e^{tr A}$ が成り立ちます。行列式と固有値の積、トレースと固有値の和という対応が、指数関数を通してつながっています。

よくある誤り

tr (A B)

を

tr A \cdot tr B

で計算してしまう例が目立ちます。積については成り立ちません

巡回と並べ替えは違います。

tr (A B C) = tr (C A B)

は正しく、

tr (A C B)

は別の値です

対角成分と固有値を一対一に対応させると誤ります。一致するのは和だけです

トレースが

0

でも零行列とは限りません。対角成分が打ち消し合っているだけかもしれません

長方形の行列にトレースを使わないこと。定義されるのは正方行列だけです

tr (A^{- 1})

を

1/ tr A

とする式はありません。逆行列の固有値の和なので、別に計算します

tr (A^{2})

は

(tr A)^{2}

と違います。前者は固有値の二乗和です

参考文献

Trace (linear algebra)

Characteristic polynomial

Matrix similarity

Commutator

Frobenius inner product

Idempotent matrix

Matrix unit

HKUST, 線形代数の講義ノート（トレースと線形汎関数）

Purdue University, A. Eremenko によるトレースについてのノート

対角成分を足すだけのトレースが、基底の取り方によらない量になる理由を説明します。積の順序を入れ替えても値が変わらないこと、固有値の和に等しいことを証明し、交換子や 2 次の固有値計算への使い方も示します。