行列式が表すもの｜平行四辺形の面積、平行六面体の体積、向き

行列式は、行列の列が張る図形の「大きさ」を表します。2 次なら平行四辺形の面積、3 次なら平行六面体の体積です。

符号までついているので、面積というより向きつきの面積です。負の値は、2 本のベクトルの並びが裏返っていることを教えます。

線形写像の側から見ると、行列式は面積や体積が何倍になるかという拡大率です。$0$ になるのは、図形が潰れて次元が落ちるときです。

<svg viewBox="0 0 460 230" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="22" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">単位正方形が平行四辺形に移り、面積は |det| 倍になります</text>
	<rect x="60" y="120" width="60" height="60" fill="#9a9a9a" fill-opacity="0.15" stroke="#9a9a9a" stroke-width="1"></rect>
	<text x="90" y="156" font-size="12" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">1</text>
	<text x="90" y="200" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">単位正方形</text>
	<line x1="150" y1="150" x2="200" y2="150" stroke="#9a9a9a" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="204,150 195,146 195,154" fill="#9a9a9a"></polygon>
	<text x="177" y="141" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">A を掛ける</text>
	<polygon points="240,180 330,150 370,90 280,120" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.15" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></polygon>
	<line x1="240" y1="180" x2="330" y2="150" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"></line>
	<line x1="240" y1="180" x2="280" y2="120" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"></line>
	<text x="336" y="146" font-size="11" fill="#1b81e0">1 列目</text>
	<text x="262" y="112" font-size="11" fill="#1b81e0">2 列目</text>
	<text x="305" y="152" font-size="12" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">|det A|</text>
	<text x="305" y="212" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">2 本の列が張る平行四辺形</text>
</svg>

2 次元では平行四辺形の面積

2 次の行列の列を $a=(a_1,a_2)$、$b=(b_1,b_2)$ とします。この 2 本が張る平行四辺形の面積は、行列式の絶対値です。

$$|\det A|=|a_1{b}_2-a_2{b}_1|$$

底辺と高さで確かめられます。$a$ を底辺に取れば長さは $\Vert a\Vert$、高さは $b$ のうち $a$ に垂直な成分の長さです。

$a$ と $b$ のなす角を $\theta$ とすれば面積は $\Vert a\Vert \Vert b\Vert \sin \theta$ で、これを成分で書くと上の式になります。

例：面積を求める

列が $(3,1)$ と $(1,2)$ の行列を取ります。

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$

行列式は $3\cdot 2-1\cdot 1=5$ です。したがって、この 2 本が張る平行四辺形の面積は $5$ になります。

方眼紙に描いて数えても同じです。外接する長方形から、まわりの三角形を引いていけば $5$ が出てきます。

符号は向きを表す

行列式が正なら、第 1 列から第 2 列へ反時計回りに測った角が $180^{\circ }$ より小さい並びです。負なら時計回りになります。

面積そのものは絶対値ですが、符号には情報があります。写像が向きを保つか裏返すかを、この符号が判定します。

鏡映は向きを裏返すので、行列式が負になります。回転は保つので正です。

例：列を入れ替えると符号が変わる

さきほどの 2 本を逆に並べます。

$$B=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 1\end{array}\right)$$

行列式は $1\cdot 1-3\cdot 2=-5$ です。絶対値は変わらず、符号だけが反転しました。

同じ平行四辺形を表しているので、面積が変わらないのは当然です。変わったのは 2 本をたどる向きだけです。

3 次元では平行六面体の体積

3 本のベクトルを列に並べた行列の行列式は、それらが張る平行六面体の符号つき体積です。

符号は右手系か左手系かを表します。3 本を右手の親指・人差し指・中指の向きに取れれば正、鏡に映した並びなら負です。

<svg viewBox="0 0 460 220" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="22" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">3 本のベクトルが張る箱の体積が、行列式の絶対値です</text>
	<polygon points="150,150 250,150 300,120 200,120" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.1" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></polygon>
	<polygon points="150,150 250,150 250,90 150,90" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.14" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></polygon>
	<polygon points="250,150 300,120 300,60 250,90" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.18" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></polygon>
	<polygon points="150,90 250,90 300,60 200,60" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.08" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></polygon>
	<line x1="150" y1="150" x2="250" y2="150" stroke="#1b81e0" stroke-width="2"></line>
	<line x1="150" y1="150" x2="200" y2="120" stroke="#1b81e0" stroke-width="2"></line>
	<line x1="150" y1="150" x2="150" y2="90" stroke="#1b81e0" stroke-width="2"></line>
	<circle cx="150" cy="150" r="3" fill="#1f1f1f"></circle>
	<text x="255" y="166" font-size="11" fill="#1b81e0">1 列目</text>
	<text x="205" y="134" font-size="11" fill="#1b81e0">2 列目</text>
	<text x="112" y="94" font-size="11" fill="#1b81e0">3 列目</text>
	<text x="230" y="200" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">符号は、3 本の並びが右手系か左手系かを表します</text>
</svg>

例：平行六面体の体積を求める

$(1,0,1)$、$(1,1,0)$、$(0,1,1)$ の 3 本が張る箱を考えます。

$$C=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$$

余因子展開でもサラスの方法でも、行列式は $2$ になります。体積は $2$ です。

3 本とも長さは $\sqrt{2}$ ですが、互いに $60^{\circ }$ ずつ傾いているので、立方体よりずっと平たい箱になります。長さの積 $2\sqrt{2}$ より小さい値が出るのは、そのためです。

拡大率としての行列式

視点を変えて、$A$ を線形写像と見ます。単位正方形は、$A$ の列が張る平行四辺形へ移ります。

面積は $1$ から $|\det A|$ になりました。線形写像は図形を一様に引き伸ばすので、この比はどの図形でも同じです。

$$(\text{移した図形の面積})=|\det A|\times (\text{もとの図形の面積})$$

正方形でも円でも、面積が測れる図形ならすべて成り立ちます。3 次元以上でも、体積について同じことが言えます。

例：図形の面積が何倍になるか

さきほどの $A$ で、半径 $1$ の円を移します。円は楕円に変わります。

もとの面積は $\pi$、$\det A=5$ なので、移った楕円の面積は $5\pi$ です。楕円の軸の長さを求めなくても、面積だけは即座に分かります。

面積 $12$ の三角形を移せば $60$ になります。図形の形によらず、倍率は $5$ で共通です。

例：せん断は面積を変えない

形は大きく変わるのに、面積が変わらない写像もあります。

$$S=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$$

行列式は $1\cdot 1-3\cdot 0=1$ です。単位正方形は、上辺だけが右へ $3$ ずれた平行四辺形に移ります。

底辺の長さは $1$ のまま、高さも $1$ のままです。だから面積も $1$ で変わりません。上に積んだカードの束を横へずらしても、全体の体積が変わらないのと同じ理屈です。

回転も同じで、行列式は $1$ です。長さも角度も変えないのだから、面積が保たれるのは当然です。

積の公式は拡大率の積

行列の積は、写像を続けて施すことにあたります。面積は 2 回とも倍になるので、倍率は掛け算です。

$$\det (AB)=\det A\cdot \det B$$

行列式の積の公式が、幾何の言葉ではこう読めます。成分で証明すると面倒な等式が、拡大率の話としては当たり前になります。

例：変換を続けて確かめる

$x$ 方向に $2$ 倍する写像と、もうひとつの写像を続けます。

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 4\end{array}\right)$$

$\det A=2$、$\det B=3$ です。積を計算します。

$$AB=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 4\end{array}\right)$$

$\det (AB)=8-2=6$ で、$2\times 3$ と一致します。面積が $3$ 倍になったあと $2$ 倍になる、という順序どおりの結果です。

行列式が 0 なら潰れる

$\det A=0$ は、列が張る図形の面積が $0$ だということです。2 次なら 2 本が同じ直線上に乗り、平行四辺形が潰れます。

写像の側から見れば、平面全体が直線に押しつぶされます。像の次元が落ちるので、もとに戻す写像は作れません。

行列式が $0$ でないことと正則であることが同値なのは、この事情です。潰れてしまえば情報が消え、復元できません。

例：直線に潰れる変換

次の行列では、第 2 列が第 1 列の $2$ 倍です。

$$D=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$$

行列式は $4-4=0$ です。列が張るのは平行四辺形ではなく線分だけになります。

実際、どんな点を掛けても行き先は $(1,2)$ の定数倍です。平面全体が 1 本の直線に落ちます。

逆行列の行列式は逆数になる

$A{A}^{-1}=I$ の両辺で行列式を取ると、$\det A\cdot \det A^{-1}=1$ です。

$$\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}$$

面積を $5$ 倍する写像を元に戻すには $\frac{1}{5}$ 倍すればよい、という話です。$\det A=0$ で逆が作れないことも、$0$ 倍を元に戻せないこととして読めます。

三角形の面積にも使える

原点と 2 点が作る三角形は、平行四辺形のちょうど半分です。したがって面積は行列式の絶対値の半分になります。

原点を通らない三角形でも、1 つの頂点を基準にして 2 本のベクトルを作れば同じです。

例：3 点から三角形の面積を求める

$(1,1)$、$(4,2)$、$(2,5)$ を頂点とする三角形を考えます。第 1 の点を基準にすると、2 本のベクトルは $(3,1)$ と $(1,4)$ です。

$$\det \left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 4\end{array}\right)=12-1=11$$

面積は $\frac{11}{2}$ です。座標から直接、割り算ひとつで求まります。

例：3 点が一直線に並ぶとき

$(1,1)$、$(3,3)$、$(5,5)$ で同じことをします。基準を第 1 の点に取ると、2 本のベクトルは $(2,2)$ と $(4,4)$ です。

行列式は $2\cdot 4-2\cdot 4=0$ で、面積も $0$ になります。3 点が一直線上にあるので、三角形が潰れています。

3 点が同一直線上にあるかどうかの判定に、この計算がそのまま使えます。傾きを比べるより、割り算が出てこないぶん扱いやすくなります。

多重線形性と交代性の幾何的な意味

1 本のベクトルを $c$ 倍すると面積も $c$ 倍になります。行列式が各列について線形である、という性質の中身がこれです。

2 本が同じなら平行四辺形は潰れ、面積は $0$ です。同じ列があると行列式が $0$ になる、という性質にあたります。

ある列に別の列の定数倍を足しても、面積は変わりません。底辺を保ったまま、頂点を底辺と平行に滑らせているだけだからです。行基本変形で行列式が変わらない理由も、この図で見えます。

高い次元でも同じことが言える

$n$ 次では、$n$ 本のベクトルが張る図形の $n$ 次元体積が行列式です。目には見えませんが、性質はそのまま引き継がれます。

拡大率としての読み方も変わりません。$n$ 次元の領域の体積は $|\det A|$ 倍になります。

ヤコビアンとのつながり

曲がった変換でも、狭い範囲では線形写像で近似できます。その近似の行列がヤコビ行列で、行列式が局所的な拡大率です。

重積分の変数変換で $|\det J|$ を掛けるのは、この理由です。詳しい扱いは重積分の記事にあります。

他の話題とのつながり

行列式の性質そのものは行列式の基本性質の記事に、$3$ 次の計算方法はサラスの方法の記事にあります。

2 本のベクトルの外積は、大きさが平行四辺形の面積になります。3 次元の行列式は、外積ともう 1 本の内積として書けます。

よくある誤り

参考文献