行列と図形の変換｜拡大・回転・鏡映・せん断・射影を行列で書く

平面の点を平面の点へ送る操作のうち、行列 1 つで書けるものを一次変換といいます。

$(x^{'} y^{'}) = (a c b d) (x y)$

拡大も回転も鏡映もせん断も、すべてこの形に収まります。違うのは 4 つの数だけです。

行列を見てどんな変換かを言い当てる方法があります。列を読めばよいのです。

一次変換とは

2 次の正方行列 $A$ を決めると、点 $(x, y)$ に $A$ を掛けて別の点へ送る操作が決まります。これを $A$ が定める一次変換といいます。

原点は必ず原点へ行きます。零ベクトルにどんな行列を掛けても零ベクトルだからです。

もう 1 つ大事な性質があります。和とスカラー倍が、変換の前後で保たれます。

$A (u + v) = A u + A v, A (k u) = k (A u)$

この 2 つがあるおかげで、変換の様子は少ない情報で決まってしまいます。次の節がその話です。

行列の列は基本ベクトルの行き先

$x$ 軸方向の長さ $1$ のベクトルを $e_{1}$ 、 $y$ 軸方向の長さ $1$ のベクトルを $e_{2}$ と書きます。

$A$ を掛けてみます。 $e_{1}$ は成分が $(1, 0)$ なので、掛け算の結果は $A$ の第 1 列そのものです。

$A e_{1} = (a c), A e_{2} = (b d)$

行列の列は、基本ベクトルがどこへ飛ぶかを書き並べたものだったわけです。

しかもこの 2 本の行き先だけで、変換全体が決まります。どんな点も $(x, y) = x e_{1} + y e_{2}$ と書けるので、和とスカラー倍が保たれることから行き先が出るからです。

$A (x y) = x (A e_{1}) + y (A e_{2})$

行列を読むときは、まず列を 2 本の矢印だと思ってください。それが変換の正体です。

例：列を読んで変換を言い当てる

次の行列がどんな変換かを考えます。

$A = (01 - 1 0)$

第 1 列は $(0, 1)$ です。右を向いていた $e_{1}$ が、真上を向きました。

第 2 列は $(- 1, 0)$ です。真上を向いていた $e_{2}$ が、左を向きました。

どちらも反時計回りに $90$ 度ぶん回っています。この行列は $90$ 度の回転を表していた、ということになります。

例：変換から行列を作る

こんどは逆向きです。「 $x$ 軸方向に $3$ 倍、 $y$ 軸方向に $\frac{1}{2}$ 倍する」変換の行列を作ります。

$e_{1}$ は $x$ 軸方向なので $3$ 倍されて $(3, 0)$ へ行きます。 $e_{2}$ は $\frac{1}{2}$ 倍されて $(0, \frac{1}{2})$ です。

この 2 本を列に並べれば完成です。

$A = (30 0 \frac{1}{2})$

言葉で書かれた変換を行列に直す作業は、いつでもこの手順で済みます。基本ベクトルの行き先を 2 つ調べ、列に並べるだけです。

拡大と縮小

対角行列は、軸ごとに伸び縮みさせる変換です。

$(p 0 0 q)$

$p$ が $x$ 方向の倍率、 $q$ が $y$ 方向の倍率になります。 $p = q$ なら全体が一様に拡大され、図形の形は変わりません。

倍率が負なら、その向きについて反対側へ折り返されます。 $p = q = - 1$ なら原点に関する点対称です。

回転

原点のまわりに角 $θ$ だけ反時計回りに回す変換は、次の行列で書けます。

$R (θ) = (cos θ sin θ - sin θ cos θ)$

列を確かめます。第 1 列は $(cos θ, sin θ)$ で、これは $e_{1}$ を $θ$ だけ回した先です。

第 2 列 $(- sin θ, cos θ)$ も、 $e_{2}$ を $θ$ だけ回した先になっています。列を読むという方針が、ここでもそのまま効きます。

$θ = 90$ 度を入れると、前の例で見た行列に戻ります。

鏡映

直線に関して折り返す変換です。 $x$ 軸に関する鏡映なら、 $e_{1}$ は動かず、 $e_{2}$ が下を向きます。

$(10 0 - 1)$

原点を通り $x$ 軸と角 $θ$ をなす直線についても、同じ考え方で書けます。

$(cos 2 θ sin 2 θ sin 2 θ - cos 2 θ)$

角が $2 θ$ になるのは、折り返しでは反対側まで回り込むためです。 $θ = 0$ を入れれば $x$ 軸に関する鏡映に戻ります。

例：直線 y = x に関する鏡映

$θ = 45$ 度の場合を、列から作ってみます。

$e_{1}$ は $x$ 軸上にあり、折り返すと $y$ 軸上へ移ります。行き先は $(0, 1)$ です。

$e_{2}$ は逆に $(1, 0)$ へ移ります。2 本を並べます。

$(0110)$

上の一般式に $2 θ = 90$ 度を入れても同じ行列が出ます。 $cos 9 0^{\circ} = 0$ 、 $sin 9 0^{\circ} = 1$ だからです。

せん断

一方の軸を動かさず、もう一方を軸に沿ってずらす変換をせん断といいます。

$(10 k 1)$

第 1 列が $(1, 0)$ なので $e_{1}$ は動きません。第 2 列が $(k, 1)$ なので、 $e_{2}$ は高さを保ったまま横へ $k$ だけずれます。

正方形が平行四辺形へ倒れる形の変換です。トランプの束を斜めに崩したときの動きが、これにあたります。

高さが変わらず底辺も変わらないので、面積は保たれます。行列式が $1$ であることと対応しています。

射影

平面をまるごと 1 本の直線へ押し潰す変換もあります。 $x$ 軸への正射影がその例です。

$(1000)$

$e_{1}$ は動かず、 $e_{2}$ は原点へ潰れます。どんな点も $y$ 座標を捨てられて $x$ 軸に落ちます。

行列式は $0$ です。面積を持っていた図形が線分になるので、面積の倍率が $0$ になったと読めます。

平行移動は一次変換ではない

図形を横へずらす操作は、行列では書けません。原点が原点へ行かなくなるからです。

$(x y) ⟼ (x + 1 y)$

$(0, 0)$ が $(1, 0)$ へ移ってしまいます。一次変換の最初の性質に反しています。

平行移動を含む変換をまとめて扱いたいときは、座標を 1 つ増やして $(x, y, 1)$ の形で持たせます。3 次の行列で書けるようになり、同次座標と呼ばれます。

図形の描画では、回転と平行移動を同じ形で扱えるこの方法がよく使われます。ただし平面の中だけで考えるかぎり、平行移動は一次変換の外にあります。

行列式が面積の変わり方を表す

単位正方形は、変換によって 2 本の列が張る平行四辺形へ移ります。この平行四辺形の面積が、行列式の絶対値です。

つまり行列式は面積の倍率です。せん断で $1$ 、射影で $0$ になったのは、面積が保たれたことと潰れたことに対応していました。

符号にも意味があります。負なら向きが裏返り、鏡映のように裏返しの図形になります。 $x$ 軸に関する鏡映の行列式は $- 1$ でした。

面積との関係を詳しく見るのは、行列式が表すものの記事です。ここでは変換を見分ける手がかりとして使います。

変換を続けると行列の積になる

$A$ で送ってから $B$ で送る、という 2 段構えは、 $B A$ という 1 つの行列で書けます。

$B (A x) = (B A) x$

先に働くほうが右に来ます。書く順と働く順が逆になるので、そこだけ注意します。

行列の積で交換法則が成り立たないことは、変換の側では当たり前に見えます。回してから折り返すのと、折り返してから回すのでは、結果が違って当然だからです。

例：鏡映を 2 回すると回転になる

$x$ 軸に関する鏡映を $S$ 、直線 $y = x$ に関する鏡映を $T$ とします。

$S = (10 0 - 1), T = (0110)$

$S$ を先に施し、 $T$ を後から施す変換は $T S$ です。計算します。

$T S = (01 - 1 0)$

$90$ 度の回転が出てきました。2 直線のなす角は $45$ 度で、回転角はちょうどその 2 倍です。

灰色の図形を $x$ 軸で折り返すと橙、それをさらに $y = x$ で折り返すと青になります。青は灰色を $90$ 度回したものです。

裏返しを 2 回すれば表に戻る、と考えれば納得できます。行列式も $(- 1) \times (- 1) = 1$ で、向きが元に戻っています。

例：順序を変えると結果が変わる

同じ 2 つを逆の順で施します。 $T$ が先、 $S$ が後なので $S T$ です。

$S T = (0 - 1 10)$

こちらは $- 90$ 度、つまり時計回りに $90$ 度の回転です。先ほどと逆向きになりました。

2 直線のなす角を測る向きが入れ替わったため、回転の向きも入れ替わったわけです。順序が結果を変えることが、図形の上で見えています。

逆変換は逆行列

$A$ による変換を元に戻す変換があれば、その行列は $A^{- 1}$ です。行って戻れば何もしないので、積が単位行列になります。

行列式が $0$ でなければ逆行列があり、変換は戻せます。回転・鏡映・せん断・拡大は、どれもこの仲間です。

行列式が $0$ のときは戻せません。潰れてしまった情報を復元する方法がないからです。

例：射影は戻せない

$x$ 軸への射影で、点 $(0, 1)$ と点 $(0, 2)$ の行き先を調べます。

どちらも $y$ 座標を捨てられて $(0, 0)$ へ行きます。違う 2 点が同じ点に重なりました。

行き先から出発点を言い当てることはできません。逆変換が存在しないのは、この重なりが理由です。

行列式が $0$ であることと、こうした重なりが起きることは、同じ事実の言い換えになっています。

直線は直線へ、平行は平行のまま

一次変換で図形がどこまで崩れるかには限度があります。直線は直線へ移ります。行列式が $0$ の場合には点へ潰れることもあります。

平行な 2 直線は、移った先でも平行です。同じ方向ベクトルを持つ直線どうしは、その方向ベクトルの行き先も同じになるからです。

方眼をせん断で送ると、まっすぐな線はまっすぐなまま傾きます。縦の線どうしは傾いたあとも互いに平行で、間隔も等しいままです。

線分の中点は、移った先でも中点のままです。長さの比が保たれるので、内分点はどこであっても比を保ちます。

いっぽう、長さそのものと角度は一般に保たれません。保たれるのは回転と鏡映だけで、せん断では角度が、拡大では長さが変わります。

理解の確認

ある一次変換で、 $e_{1}$ が $(2, 1)$ へ、 $e_{2}$ が $(0, 3)$ へ移りました。この変換を表す行列はどれでしょうか。

上の行に $2, 1$ 、下の行に $0, 3$ を並べた行列
第 1 列が $(2, 1)$ 、第 2 列が $(0, 3)$ の行列
行き先が 2 つあるので、行列 1 つでは決まらない

__RESULT__

基本ベクトルの行き先は、行ではなく列に並べます。 $A e_{1}$ が第 1 列、 $A e_{2}$ が第 2 列です。行に並べてしまうと、成分が入れ替わった別の変換になります。なお 2 本の行き先が決まれば変換は 1 つに定まるので、3 番目のような不定さは生じません。

他の話題とのつながり

回転の行列を深く掘るのは、回転行列の記事です。角を足すと行列の積になることから加法定理が出てくる話や、3 次元での回転を扱います。

行列式が面積や体積を表す仕組みは、行列式が表すものの記事にあります。符号が向きを表すことも、そちらで詳しく見ます。

長さと角度を保つ変換だけを集めると、直交行列という一群になります。回転と鏡映がその中身で、直交行列の記事の主題です。

射影のように潰れる変換については、潰れた先と潰れた方向を調べる道具立てがあります。線形写像の像と核として、あとの記事で扱います。

よくある誤り

基本ベクトルの行き先を行に並べてしまう取り違えが起きます。並べるのは列です

平行移動を一次変換に含めてしまうと、原点が動かないという性質と食い違います。行列だけでは書けません

変換を続けるときに行列を左から順に掛けると、順序が逆になります。先に働くほうが右です

回転と鏡映を行列式の符号で区別せずに扱うと、向きの裏返りを見落とします。回転は

1

、鏡映は

- 1

です

せん断が図形を小さくすると考えるのは誤りです。形は崩れますが面積は変わりません

行列式が

0

の変換にも逆変換があると思い込むと行き詰まります。潰れた情報は戻せません

一次変換が長さと角度を保つと決めつけると外します。保たれるのは直線と平行と比だけです

参考文献

Transformation matrix - Wikipedia

Shear mapping - Wikipedia

Abbildungsmatrix - Wikipedia（ドイツ語）

Application linéaire - Wikipédia（フランス語）

Matrice di trasformazione - Wikipedia（イタリア語）

Matriz de transformación - Wikipedia（スペイン語）

行列の列は、基本ベクトルの行き先を書き並べたものです。この一点さえ押さえれば、行列を見て変換を言い当てることも、言葉で書かれた変換から行列を作ることもできます。拡大・回転・鏡映・せん断・射影を順に確かめ、行列式が面積の倍率になること、変換を続けると積になること、平行移動だけが外れる理由を見ます。