ブロック行列とシューア補元｜区分けして積・行列式・逆行列を計算する

行列を縦と横の線で区切り、小さな行列が並んだものとして見た形をブロック行列といいます。区分行列とも呼びます。

区切り方がそろっていれば、ブロックを数のように扱って和や積が計算できます。大きな行列の計算が、小さな行列の計算に分かれます。

行列式・逆行列・階数も、うまく区切れば同じように分かれます。その要になるのがシューア補元です。

<svg viewBox="0 0 460 250" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="175" y="44" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">n1 列</text>
	<text x="305" y="44" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">n2 列</text>
	<text x="102" y="96" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="end">m1 行</text>
	<text x="102" y="176" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="end">m2 行</text>
	<rect x="110" y="52" width="130" height="80" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.12"></rect>
	<rect x="240" y="52" width="130" height="80" fill="#f5f5f5"></rect>
	<rect x="110" y="132" width="130" height="80" fill="#f5f5f5"></rect>
	<rect x="240" y="132" width="130" height="80" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.12"></rect>
	<rect x="110" y="52" width="260" height="160" fill="none" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<line x1="240" y1="52" x2="240" y2="212" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<line x1="110" y1="132" x2="370" y2="132" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<text x="175" y="98" font-size="15" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">A</text>
	<text x="305" y="98" font-size="15" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">B</text>
	<text x="175" y="178" font-size="15" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">C</text>
	<text x="305" y="178" font-size="15" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">D</text>
	<text x="230" y="238" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">同じ行のブロックは行数が、同じ列のブロックは列数がそろいます</text>
</svg>

行列を区分けして見る

$m\times n$ 行列 $M$ の行を $m=m_1+m_2$、列を $n=n_1+n_2$ と分けます。区切り線を入れると、4 つの小行列が並んだ形になります。

$$M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$$

$A$ は $m_1\times n_1$、$B$ は $m_1\times n_2$、$C$ は $m_2\times n_1$、$D$ は $m_2\times n_2$ の行列です。同じ行に並ぶブロックは行数が、同じ列に並ぶブロックは列数がそろいます。

区切りは 2 分割に限りません。$p$ 行 $q$ 列のブロックに分けたときは $M_{ij}$ と添字で呼びます。以下では 2 分割の場合を中心に見ていきます。

ブロックごとの和と積

和は単純です。区切り方が同じ 2 つの行列なら、同じ位置のブロックどうしを足せば済みます。

積には条件がつきます。$MN$ を計算するとき、$M$ の列の分け方と $N$ の行の分け方が一致していれば、ブロックを数のように掛けられます。

$$(MN{)}_{ij}=\sum _k{M}_{ik}{N}_{kj}$$

2 分割どうしなら次の形です。ブロックの積は可換ではないので、左右の順序を崩さないことがすべてです。

$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}E& F\\ G& H\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}AE+BG& AF+BH\\ CE+DG& CF+DH\end{array}\right)$$

例：ブロック三角行列どうしの積

左下が零行列である 2 つの行列を掛けます。ブロックには次の値を入れます。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$$

$$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right),F=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),H=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$$

公式に当てはめると、左上は $AE$、右上は $AF+BH$、右下は $DH$ になります。左下は $O\cdot E+D\cdot O$ で零行列のままです。

$$AE=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right),AF+BH=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 1& 4\end{array}\right),DH=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 2\end{array}\right)$$

これらを並べたものが積です。

$$MN=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 5& 1\\ 1& 1& 1& 4\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 2& 2\end{array}\right)$$

4 次の行列として直接掛けても同じ結果が出ます。左下が零行列のままである点も見てください。ブロック三角の形は積で保たれます。

ブロックのまま掛けてよい理由

成分で書いた積の定義 ${\sum }_k{m}_{ik}{n}_{kj}$ を、$k$ の範囲で区切って足し直しただけです。

$k$ を $1$ から $n_1$ までと、$n_1+1$ から $n$ までに分ければ、前半が $M_{i1}{N}_{1j}$ の成分に、後半が $M_{i2}{N}_{2j}$ の成分に対応します。

和をまとめる順序を変えているだけなので、区切りが整合していればいつでも成り立ちます。新しい定理というより、和の書き換えです。

ブロック対角行列

対角にだけブロックが並び、ほかがすべて零行列である行列をブロック対角行列といいます。

$$M=\left(\begin{array}{ccc}{A}_1& & \\ & \ddots & \\ & & A_r\end{array}\right)$$

行列式はブロックごとの行列式の積、トレースは和になります。逆行列も各ブロックの逆行列を並べるだけです。

$$\det M=\det A_1\cdots \det A_r$$

$M$ が正則であることと、すべての $A_i$ が正則であることが同値です。空間をいくつかの部分に分け、それぞれで独立に写像が働いている状況を、行列の言葉にした形にあたります。

ブロック三角行列の行列式

右上または左下が零行列で、対角のブロックが正方行列なら、行列式はブロックごとの積になります。

$$\det \left(\begin{array}{cc}A& B\\ O& D\end{array}\right)=\det A\cdot \det D$$

$A$ が正則な場合は、3 つの行列の積に分けると見通しがよくなります。

$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ O& D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& I\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I& O\\ O& D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I& A^{-1}B\\ O& I\end{array}\right)$$

右端は対角成分がすべて $1$ の三角行列なので、行列式は $1$ です。左の 2 つは余因子展開を繰り返せば $\det A$ と $\det D$ になります。

$A$ が正則でないときは、$Ax=0$ となる $0$ でない $x$ を使って $M$ の列の一次従属が作れます。両辺とも $0$ になり、等式はやはり成り立ちます。

例：ブロック三角行列の行列式を求める

次の 4 次の行列で確かめます。

$$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 3& 4& 0& 1\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 1& 3\end{array}\right)$$

左下の 2 次ブロックが零行列なので、左上と右下だけを見れば済みます。$\det A=1\cdot 4-2\cdot 3=-2$、$\det D=2\cdot 3-0\cdot 1=6$ です。

$$\det M=(-2)\cdot 6=-12$$

右上のブロックの中身は結果に効きません。4 次の行列式を余因子展開で追うより、はるかに手数が少なくて済みます。

たすきがけの公式は成り立たない

2 次の行列式 $ad-bc$ の形をまねて $\det M=\det (AD-BC)$ としたくなりますが、これは一般には誤りです。

$$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0\end{array}\right)$$

2 次のブロックに区切って $AD$ から $BC$ を引きます。

$$AD-BC=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$

この行列式は $0$ ですが、$M$ の行列式は $1$ です。値がまるで合いません。

$C$ と $D$ が可換なら $\det (AD-BC)$ が正しい答を与えます。可換性つきの公式であって、いつでも使える式ではありません。

ブロック消去とシューア補元

連立方程式で使う消去を、ブロックのままやってみます。$A$ が正則なら、第 1 行のブロックに $C{A}^{-1}$ を掛けて第 2 行から引けます。

$$\left(\begin{array}{cc}I& O\\ -C{A}^{-1}& I\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ O& D-C{A}^{-1}B\end{array}\right)$$

左下が消え、右下に $D-C{A}^{-1}B$ が残りました。これを $A$ に関するシューア補元といい、$M/A$ と書きます。

<svg viewBox="0 0 460 230" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<rect x="40" y="60" width="70" height="55" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.12"></rect>
	<rect x="110" y="60" width="70" height="55" fill="#f5f5f5"></rect>
	<rect x="40" y="115" width="70" height="55" fill="#f5f5f5"></rect>
	<rect x="110" y="115" width="70" height="55" fill="#f5f5f5"></rect>
	<rect x="40" y="60" width="140" height="110" fill="none" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<text x="75" y="94" font-size="14" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">A</text>
	<text x="145" y="94" font-size="14" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">B</text>
	<text x="75" y="149" font-size="14" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">C</text>
	<text x="145" y="149" font-size="14" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">D</text>
	<line x1="200" y1="115" x2="255" y2="115" stroke="#9a9a9a" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="255,115 247,111 247,119" fill="#9a9a9a"></polygon>
	<text x="228" y="106" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">ブロック消去</text>
	<rect x="280" y="60" width="70" height="55" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.12"></rect>
	<rect x="350" y="60" width="70" height="55" fill="#f5f5f5"></rect>
	<rect x="280" y="115" width="70" height="55" fill="#f5f5f5"></rect>
	<rect x="350" y="115" width="70" height="55" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.12"></rect>
	<rect x="280" y="60" width="140" height="110" fill="none" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<text x="315" y="94" font-size="14" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">A</text>
	<text x="385" y="94" font-size="14" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">B</text>
	<text x="315" y="149" font-size="14" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">O</text>
	<text x="385" y="149" font-size="14" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">S</text>
	<text x="230" y="200" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">左下が消え、右下に現れる S がシューア補元です</text>
	<text x="230" y="218" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">元の行列の情報は、A と S の 2 つに分かれます</text>
</svg>

右からも同じ操作をすると、対角だけの形に整います。まとめると次の分解が得られます。

$$M=\left(\begin{array}{cc}I& O\\ C{A}^{-1}& I\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& M/A\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I& A^{-1}B\\ O& I\end{array}\right)$$

両端は対角成分が $1$ の三角行列で、行列式も階数の変化も持ちません。本質的な情報は真ん中に集まります。

行列式はシューア補元で分かれる

さきほどの分解の両辺で行列式を取れば、公式がそのまま出ます。

$$\det M=\det A\cdot \det (D-C{A}^{-1}B)$$

$D$ のほうが正則なら、上下を入れ替えた同じ議論で別の形も得られます。

$$\det M=\det D\cdot \det (A-B{D}^{-1}C)$$

2 次の行列式 $ad-bc$ は、$a\ne 0$ のとき $a(d-c{a}^{-1}b)$ と書き直せます。シューア補元の公式は、この見方をそのままブロックに広げたものです。

例：シューア補元で行列式を求める

次の行列を 2 次のブロックに区切ります。

$$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 2& 1\\ 1& 0& 1& 2\end{array}\right)$$

左上のブロックは上三角なので、逆行列がすぐ求まります。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$$

$B$ は単位行列で、残りの 2 つは次のとおりです。

$$C=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$

$C{A}^{-1}B$ を計算して $D$ から引くと、シューア補元は対角行列になります。

$$M/A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$$

$\det A=1$、$\det (M/A)=6$ ですから $\det M=6$ です。4 次の行列式が、2 次の行列式 2 つの積に分かれました。

ブロック逆行列の公式

$A$ とシューア補元 $S=M/A$ がともに正則なら、逆行列は次の形で書けます。

$$M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}+A^{-1}B{S}^{-1}C{A}^{-1}& -A^{-1}B{S}^{-1}\\ -S^{-1}C{A}^{-1}& S^{-1}\end{array}\right)$$

覚えにくい式に見えますが、導き方は簡単です。さきほどの 3 つの積を逆順にして、それぞれの逆行列を取るだけで済みます。三角行列のほうは符号を変えるだけです。

右下に $S^{-1}$ がそのまま現れるところが要点になります。大きな逆行列のうち一部だけが必要なとき、全体を求めずに取り出せます。

例：4 次の逆行列をブロックで求める

さきほどの例から右下のブロックだけを変えます。

$$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0\end{array}\right)$$

$A$、$B$、$C$ は変わらず、$D$ だけが入れ替わっています。

$$D=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

$C{A}^{-1}B$ を引くとシューア補元が単位行列になり、公式がとても軽くなります。

$$M/A=D-C{A}^{-1}B=I$$

$S^{-1}=I$ を代入すると、分数の出てこない逆行列が求まります。

$$M^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& -1& 1\\ 1& 0& 0& -1\\ 0& -1& 1& 0\\ -1& 1& 0& 1\end{array}\right)$$

実際に $M{M}^{-1}$ を計算すると単位行列になります。$\det M=\det A\cdot \det S=1$ ですから、成分がすべて整数になることとも辻褄が合います。

階数もシューア補元で分かれる

$A$ が正則なら、階数についても同じ形の式が成り立ちます。

$$\mathrm{rank}M=\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}(M/A)$$

ブロック消去で使った両端の行列が正則だからです。正則な行列を掛けても階数は動かず、ブロック対角の形になった時点で 2 つに分かれます。

$M$ が正則であることと $M/A$ が正則であることが同値、という言い方もできます。行列式の公式からも同じ結論に行き着きます。

対称ブロック行列の正定値性

対称行列を、対角のブロックが対称になるように区切ります。このとき正定値かどうかの判定も、シューア補元に分かれます。

$A$ が正定値であれば、$M$ が正定値であることと $M/A$ が正定値であることが同値です。大きな行列の判定が、小さな 2 つの判定に落ちます。

正定値行列そのものの性質は、正定値行列と半正定値行列の記事で扱います。ここではシューア補元が判定の道具になる、という点だけを押さえてください。

連立方程式の消去として読む

シューア補元は、変数をまとめて消したあとに残る係数行列です。未知数を 2 組に分けて $Ax+By=b$ と $Cx+Dy=d$ を並べた形が $M$ にあたります。

第 1 式から $x=A^{-1}(b-By)$ を得て、第 2 式に代入します。

$$(D-C{A}^{-1}B)y=d-C{A}^{-1}b$$

左辺の係数行列がシューア補元です。$A$ の正則性が要るのは、$x$ について解く必要があるからだと分かります。

大きな連立方程式を解くとき、この形で片方の変数群を先に消す方法がよく使われます。消したあとの小さな方程式を解き、あとから $x$ を復元します。

他の話題とのつながり

逆行列の公式を並べ替えると、ウッドベリーの公式が出てきます。$(A+UCV{)}^{-1}$ を $A^{-1}$ と小さな逆行列で書く式で、階数の低い修正を加えたときの計算に使われます。

行列式にも対応する式があります。$\det (A+u{v}^{\top })=(1+v^{\top }{A}^{-1}u)\det A$ という形で、ブロック行列の行列式を 2 通りに計算すれば導けます。

統計では、多変量正規分布の条件つき分散がシューア補元そのものです。共分散行列を 2 つの変数群に区切ると、片方を固定したときの残りのばらつきが $M/A$ の形で現れます。

計算の面でも効きます。大きな積や逆行列をブロックに分けて処理する方法は、並列計算やシュトラッセンの積の土台になっています。

よくある誤り

参考文献