サラスの方法｜3 次行列式をたすき掛けで計算する

3 次の行列式は、6 つの積の足し引きで書けます。この 6 項を斜めの線で覚える方法がサラスの方法です。

たすき掛けとも呼ばれます。2 次の $a d - b c$ を 3 次に広げた形で、手で計算するには速くて確実です。

ただし 3 次専用です。同じ図を 4 次にあてはめると、答が合わなくなります。

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	<text x="230" y="24" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">右に 2 列書き足すと、6 本の線がまっすぐ引けます</text>
	<rect x="80" y="50" width="180" height="135" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.06"></rect>
	<rect x="80" y="50" width="300" height="135" fill="none" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<line x1="260" y1="50" x2="260" y2="185" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
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	<line x1="158" y1="66" x2="302" y2="180" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<line x1="218" y1="66" x2="362" y2="180" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
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	<text x="110" y="83" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">a</text>
	<text x="170" y="83" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">b</text>
	<text x="230" y="83" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">c</text>
	<text x="290" y="83" font-size="13" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">a</text>
	<text x="350" y="83" font-size="13" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">b</text>
	<text x="110" y="128" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">d</text>
	<text x="170" y="128" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">e</text>
	<text x="230" y="128" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">f</text>
	<text x="290" y="128" font-size="13" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">d</text>
	<text x="350" y="128" font-size="13" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">e</text>
	<text x="110" y="173" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">g</text>
	<text x="170" y="173" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">h</text>
	<text x="230" y="173" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">i</text>
	<text x="290" y="173" font-size="13" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">g</text>
	<text x="350" y="173" font-size="13" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">h</text>
	<line x1="100" y1="205" x2="125" y2="205" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<text x="131" y="209" font-size="11" fill="#9a9a9a">右下がりは足す</text>
	<line x1="245" y1="205" x2="270" y2="205" stroke="#9a9a9a" stroke-width="1" stroke-dasharray="4 3"></line>
	<text x="276" y="209" font-size="11" fill="#9a9a9a">右上がりは引く</text>
</svg>

サラスの方法とは

3 次の正方行列の行列式を、斜めに並んだ 3 つの成分の積 6 組で求める方法です。

$A = a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33}$

このとき行列式は次の式で計算できます。

$det A = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}$

右下がりに並ぶ 3 組が正、右上がりに並ぶ 3 組が負です。どの項も、各行から 1 つずつ、各列から 1 つずつ成分を取っています。

図で覚える

はじめの 3 項は、左上から右下へ向かう線の上にあります。行列からはみ出したら、反対側の列に回り込みます。

残りの 3 項は、右上から左下へ向かう線の上にあります。こちらも同じように回り込みます。

行列を円筒に巻きつけて、左端と右端をつないだ図を思い浮かべると分かりやすくなります。回り込みは、その円筒を一周する動きにあたります。

右に 2 列書き足す書き方

回り込みを頭の中でやるかわりに、第 1 列と第 2 列をそのまま右に書き足す方法があります。3 行 5 列の並びになります。

こうすると 6 本の線がすべてまっすぐ引けます。左上から右下へ引いた 3 本の積を足し、右上から左下へ引いた 3 本の積を引きます。

第 1 行と第 2 行を下に書き足しても同じです。手が慣れているほうを使えば足ります。

例：3 次の行列式を計算する

次の行列で計算します。

$A = 1472583610$

右下がりの 3 項は $1 \cdot 5 \cdot 10 = 50$ 、 $2 \cdot 6 \cdot 7 = 84$ 、 $3 \cdot 4 \cdot 8 = 96$ です。合計は $230$ になります。

右上がりの 3 項は $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$ 、 $1 \cdot 6 \cdot 8 = 48$ 、 $2 \cdot 4 \cdot 10 = 80$ です。合計は $233$ です。

引き算をして $det A = 230 - 233 = - 3$ が得られます。

例：負の成分を含む行列

符号が混ざると間違えやすくなります。次の行列で確かめます。

$B = 2 - 1 0 - 1 2 - 1 0 - 1 2$

右下がりは $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ と、 $0$ を含む 2 項です。合計は $8$ になります。

右上がりは $0 \cdot 2 \cdot 0 = 0$ 、 $2 \cdot (- 1) \cdot (- 1) = 2$ 、 $(- 1) \cdot (- 1) \cdot 2 = 2$ で、合計は $4$ です。

したがって $det B = 8 - 4 = 4$ です。負の成分どうしの積が正になる点だけ、落ち着いて数えれば済みます。

例：0 が多い行列

$0$ を含む項はその場で消えるので、実際に計算する項はぐっと減ります。

$C = 304010205$

右下がりで生き残るのは $3 \cdot 1 \cdot 5 = 15$ だけです。ほかの 2 項はどちらも $0$ を含みます。

右上がりで生き残るのは $2 \cdot 1 \cdot 4 = 8$ だけです。

差を取って $det C = 15 - 8 = 7$ になります。6 項のうち 4 項が消えるので、実質は 2 つの掛け算です。

2 次のたすき掛けとの関係

2 次の行列式 $a d - b c$ も、右下がりから右上がりを引く形をしています。項の数は $2$ です。

3 次では項が $6$ に増えます。次数が上がるほど項の数が急に増えることが、ここから見え始めます。

なぜ 6 項なのか

行列式の定義は、各行と各列から 1 つずつ成分を選ぶ取り方すべてにわたる和です。3 次ならその取り方は $3! = 6$ 通りあります。

符号は、選び方が表す置換の偶奇で決まります。偶置換なら正、奇置換なら負です。

サラスの 6 本の線は、この 6 通りをちょうど過不足なく拾っています。だから定義そのものを書き下した式になっているわけです。

余因子展開と同じ結果になる

第 1 行で余因子展開すると、2 次の行列式が 3 つ現れます。それぞれを展開して整理すると、サラスの 6 項に一致します。

計算の道筋が違うだけで、得られる式は同じです。どちらを使っても構いません。

例：余因子展開と突き合わせる

さきほどの $A$ を第 1 行で展開します。

$det A = 1 \cdot (5 \cdot 10 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 10 - 6 \cdot 7) + 3 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7)$

括弧の中はそれぞれ $2$ 、 $- 2$ 、 $- 3$ です。掛けると $2$ 、 $4$ 、 $- 9$ になります。

足し合わせると $- 3$ で、サラスの方法の答と一致します。符号を間違えていないかを確かめるには、この突き合わせがいちばん確実です。

例：行を入れ替えて符号を確かめる

さきほどの $A$ の第 1 行と第 2 行を入れ替えます。

$A^{'} = 4175286310$

右下がりは $4 \cdot 2 \cdot 10 = 80$ 、 $5 \cdot 3 \cdot 7 = 105$ 、 $6 \cdot 1 \cdot 8 = 48$ で、合計は $233$ です。

右上がりは $6 \cdot 2 \cdot 7 = 84$ 、 $4 \cdot 3 \cdot 8 = 96$ 、 $5 \cdot 1 \cdot 10 = 50$ で、合計は $230$ になります。

差は $3$ です。もとの $- 3$ と符号だけが変わりました。入れ替えを 1 回すると符号が反転する、という性質のとおりです。

4 次には拡張できない

4 次の行列式は $4! = 24$ 項の和です。ところが斜めの線は、右下がりに 4 本、右上がりに 4 本の合計 8 本しか引けません。

8 項では 24 項を表せません。同じ図をあてはめると、16 項が抜け落ちた別の値が出てきます。

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<svg viewBox="0 0 460 190" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="22" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">必要な項の数と、斜めの線で作れる項の数</text>
	<text x="105" y="62" font-size="12" fill="#1f1f1f" text-anchor="end">3 次</text>
	<rect x="115" y="50" width="60" height="16" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.5"></rect>
	<text x="183" y="63" font-size="11" fill="#9a9a9a">必要な項 6</text>
	<rect x="115" y="72" width="60" height="16" fill="#9a9a9a" fill-opacity="0.4"></rect>
	<text x="183" y="85" font-size="11" fill="#9a9a9a">線で作れる項 6</text>
	<text x="105" y="127" font-size="12" fill="#1f1f1f" text-anchor="end">4 次</text>
	<rect x="115" y="115" width="240" height="16" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.5"></rect>
	<text x="363" y="128" font-size="11" fill="#9a9a9a">必要な項 24</text>
	<rect x="115" y="137" width="80" height="16" fill="#9a9a9a" fill-opacity="0.4"></rect>
	<text x="203" y="150" font-size="11" fill="#9a9a9a">線で作れる項 8</text>
	<text x="230" y="180" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">3 次でちょうど足りるのは、たまたまです</text>
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例：4 次で試すと合わない

逆対角線上だけが $1$ の行列で試します。

$D = 0001001001001000$

この行列式は $1$ です。行を 2 回入れ替えると単位行列になり、符号が 2 回変わってもとに戻るからです。

ところがサラスの図をまねて 8 本の線を引くと、右下がりの 4 本はすべて $0$ を含み、和は $0$ になります。

右上がりのほうは 1 本だけが $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ を与えます。差を取ると $- 1$ で、正しい値と符号すら合いません。

大きな行列では別の方法を使う

4 次以上では、行基本変形で上三角に整えてから対角成分を掛けるのが基本です。手数は $n^{3}$ 程度で済みます。

$0$ が多い行や列があるときは、そこで余因子展開すると速くなります。項がまとめて消えるからです。

定義どおりに $n!$ 項を並べる方法は、次数が上がるとすぐ手に負えなくなります。 $5$ 次で $120$ 項、 $10$ 次では $360$ 万項を超えます。

平行六面体の体積

3 本の空間ベクトルを行に並べた行列式は、それらが張る平行六面体の符号つき体積を表します。

スカラー三重積とも呼ばれます。絶対値が体積で、符号は 3 本の向きが右手系か左手系かを教えます。

行列式が $0$ になるのは、3 本が同じ平面に乗るときです。体積が潰れることと、一次従属であることが同じ意味になります。

例：平行六面体の体積を求める

さきほどの $A$ の行を、3 本のベクトルと見ます。 $(1, 2, 3)$ 、 $(4, 5, 6)$ 、 $(7, 8, 10)$ です。

行列式は $- 3$ でした。したがって体積は $∣ - 3∣ = 3$ です。

符号が負なので、この 3 本は左手系に並んでいます。順序を 2 本入れ替えれば、符号は正に変わります。

例：体積が 0 になる場合

3 本目を、前の 2 本の和に取り替えてみます。 $(1, 2, 3) + (4, 5, 6) = (5, 7, 9)$ です。

$E = 145257369$

右下がりは $45$ 、 $60$ 、 $84$ で合計 $189$ になります。右上がりは $75$ 、 $42$ 、 $72$ で、こちらも合計 $189$ です。

差は $0$ です。3 本目が前の 2 本で書けてしまうので、平行六面体が平面に潰れています。

検算のこつ

行や列を入れ替えると符号が変わります。答が合わないときは、まず入れ替えの回数を数え直してください。

同じ行が 2 つあれば行列式は $0$ です。計算前に気づけば、6 項の掛け算をせずに済みます。

ある行を定数倍すると、行列式も同じ数だけ倍になります。共通因数をくくり出してから計算すると、数が小さくなって間違いが減ります。

他の話題とのつながり

置換による行列式の定義は、置換と行列式の定義の記事にあります。サラスの方法は、その定義を 3 次で書き下したものです。

余因子展開や、多重線形性・交代性といった性質は、それぞれの記事で扱っています。クラメルの公式では 3 次の行列式を何度も計算するので、この方法が役に立ちます。

外積との関係も深く、3 次の行列式は 2 本のベクトルの外積ともう 1 本の内積として書けます。

よくある誤り

4 次以上の行列式に同じ図を使うことはできません。項が足りず、値も符号も合いません

右上がりの項は引きますが、成分に負の数が入っていれば、引いた結果が足し算になることもあります。符号の二重処理に注意してください

書き足すのは第 1 列と第 2 列です。3 列すべてを書き足すと線が増えて、余計な項を数えてしまいます

行と列を混ぜて書き足してはいけません。列を右に足すか、行を下に足すか、どちらか一方に決めます

転置しても行列式は変わらないので、行で足しても列で足しても同じ値になります。違う値が出たら計算間違いです

0

を含む項は消えますが、消えた項の符号まで消えるわけではありません。残った項の符号は元のままです

サラスの方法は覚え方であって、行列式の定義ではありません。定義は置換による和のほうです

参考文献

Rule of Sarrus - Wikipedia

Regel von Sarrus - Wikipedia（ドイツ語）

Règle de Sarrus - Wikipédia（フランス語）

Regla de Sarrus - Wikipedia（スペイン語）

萨吕法则 - 维基百科（中国語）

3 次の行列式は 6 つの積の足し引きで書けます。この 6 項を斜めの線で覚えるのがサラスの方法です。右に 2 列書き足す書き方、負の成分や 0 が多い場合の計算、余因子展開との突き合わせ、置換の定義から見て 6 項でちょうど足りる理由、4 次では項が足りず値が合わないことを、計算例をつけて解説します。