余因子行列と逆行列の公式｜転置を忘れずに逆行列を成分で書く

行列式が $0$ でない正方行列には、逆行列を成分の式で書き下す公式があります。

$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\tilde{A}$$

$\tilde{A}$ は余因子行列と呼ばれ、各成分に小行列式を並べて符号をつけ、最後に転置したものです。

掃き出し法のような手続きではなく、成分をそのまま式で表すのが特徴です。そのぶん計算は重く、実際に使うのは 2 次か 3 次までになります。

<svg viewBox="0 0 460 240" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="22" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">(1, 2) 成分の余因子は、第 1 行と第 2 列を消して作ります</text>
	<rect x="60" y="45" width="150" height="150" fill="none" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<rect x="60" y="45" width="150" height="50" fill="#9a9a9a" fill-opacity="0.15"></rect>
	<rect x="110" y="45" width="50" height="150" fill="#9a9a9a" fill-opacity="0.15"></rect>
	<line x1="110" y1="45" x2="110" y2="195" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="160" y1="45" x2="160" y2="195" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="60" y1="95" x2="210" y2="95" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="60" y1="145" x2="210" y2="145" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<text x="85" y="126" font-size="13" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">a</text>
	<text x="185" y="126" font-size="13" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">b</text>
	<text x="85" y="176" font-size="13" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">c</text>
	<text x="185" y="176" font-size="13" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">d</text>
	<line x1="228" y1="120" x2="268" y2="120" stroke="#9a9a9a" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="271,120 262,116 262,124" fill="#9a9a9a"></polygon>
	<text x="330" y="112" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">残った 2 次の行列式</text>
	<text x="330" y="138" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">ad - bc に符号をつける</text>
	<text x="230" y="222" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">符号は行番号と列番号の和が偶数なら正、奇数なら負です</text>
</svg>

余因子とは

$n$ 次正方行列 $A$ から第 $i$ 行と第 $j$ 列を取り除くと、$n-1$ 次の行列が残ります。その行列式を小行列式といい、$M_{ij}$ と書きます。

これに位置で決まる符号をつけたものが余因子です。

$$C_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$

符号は市松模様に並びます。左上が正で、隣に移るたびに入れ替わると覚えれば足ります。

<svg viewBox="0 0 460 200" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="24" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">余因子につく符号は、位置だけで決まります</text>
	<rect x="155" y="45" width="150" height="120" fill="none" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<rect x="155" y="45" width="50" height="40" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.12"></rect>
	<rect x="255" y="45" width="50" height="40" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.12"></rect>
	<rect x="205" y="85" width="50" height="40" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.12"></rect>
	<rect x="155" y="125" width="50" height="40" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.12"></rect>
	<rect x="255" y="125" width="50" height="40" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.12"></rect>
	<text x="180" y="72" font-size="15" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">+</text>
	<text x="230" y="72" font-size="15" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">-</text>
	<text x="280" y="72" font-size="15" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">+</text>
	<text x="180" y="112" font-size="15" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">-</text>
	<text x="230" y="112" font-size="15" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">+</text>
	<text x="280" y="112" font-size="15" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">-</text>
	<text x="180" y="152" font-size="15" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">+</text>
	<text x="230" y="152" font-size="15" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">-</text>
	<text x="280" y="152" font-size="15" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">+</text>
	<text x="230" y="188" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">行番号と列番号の和が偶数なら正、奇数なら負です</text>
</svg>

余因子行列は転置してから作る

余因子を並べた行列を作り、それを転置したものが余因子行列 $\tilde{A}$ です。

$$(\tilde{A}{)}_{ij}=C_{ji}$$

添字が入れ替わっている点が肝心です。転置を忘れると、次の公式が成り立ちません。

呼び名は言語によって揺れます。フランス語の comatrice は転置する前の並びを指し、逆行列の公式ではその転置を使います。ドイツ語の Adjunkte は転置したあとを指します。

逆行列の公式

$\det A\ne 0$ のとき、逆行列は次の式で書けます。

$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\tilde{A}$$

もとになるのは、次の等式です。行列式が $0$ でも成り立ちます。

$$A\tilde{A}=\tilde{A}A=(\det A)I$$

両辺を $\det A$ で割れば公式が出ます。逆行列の存在と $\det A\ne 0$ が同値であることも、この等式から読み取れます。

例：2 次で確かめる

2 次の行列で余因子を作ります。$1$ 次の小行列式は成分そのものです。

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

余因子は $C_{11}=d$、$C_{12}=-c$、$C_{21}=-b$、$C_{22}=a$ です。並べて転置します。

$$\tilde{A}=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$

見なれた公式が出てきました。対角を入れ替え、非対角の符号を変える、という覚え方の正体がこれです。

例：2 次の逆行列を数で求める

具体的な数で試します。

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 4& 7\end{array}\right)$$

行列式は $3\cdot 7-1\cdot 4=17$ です。余因子行列は対角を入れ替えて符号を変えるだけです。

$$A^{-1}=\frac{1}{17}\left(\begin{array}{cc}7& -1\\ -4& 3\end{array}\right)$$

$A\tilde{A}$ を計算すると対角成分が $17$ で、非対角は $0$ になります。$(\det A)I$ そのものです。

例：3 次の余因子を並べる

3 次では小行列式が 2 次の行列式になります。9 個すべてを計算します。

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 5& 6& 0\end{array}\right)$$

第 1 行の余因子は $C_{11}=-24$、$C_{12}=20$、$C_{13}=-5$ です。たとえば $C_{12}$ は、第 1 行と第 2 列を消した $0\cdot 0-4\cdot 5=-20$ に負号をつけた値です。

第 2 行は $C_{21}=18$、$C_{22}=-15$、$C_{23}=4$、第 3 行は $C_{31}=5$、$C_{32}=-4$、$C_{33}=1$ になります。

これを転置して余因子行列ができます。

$$\tilde{A}=\left(\begin{array}{ccc}-24& 18& 5\\ 20& -15& -4\\ -5& 4& 1\end{array}\right)$$

例：3 次の逆行列を求める

行列式を第 1 行で展開します。余因子はもう手元にあるので、掛けて足すだけです。

$$\det A=1\cdot (-24)+2\cdot 20+3\cdot (-5)=1$$

$\det A=1$ なので、割り算が要りません。余因子行列がそのまま逆行列になります。

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-24& 18& 5\\ 20& -15& -4\\ -5& 4& 1\end{array}\right)$$

$A{A}^{-1}$ を計算すると単位行列になります。行列式が $\pm 1$ の整数行列では、逆行列も整数だけで書けます。

例：行列式が 1 でない 3 次の逆行列

割り算が残る場合も見ておきます。

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$$

第 1 行の余因子は $C_{11}=1$、$C_{12}=1$、$C_{13}=-1$ です。展開すると $\det A=1+1+0=2$ になります。

残りの余因子も求めて転置すると、余因子行列ができます。

$$\tilde{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 1& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$$

$A\tilde{A}$ を計算すると、対角がすべて $2$ の行列になります。$\det A$ で割れば逆行列です。

$$A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 1& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$$

公式が成り立つ理由

$A\tilde{A}$ の $(i,i)$ 成分は、第 $i$ 行の成分と第 $i$ 行の余因子を掛けて足したものです。これは第 $i$ 行に沿った余因子展開そのもので、値は $\det A$ になります。

$(i,j)$ 成分では、第 $i$ 行の成分に第 $j$ 行の余因子が組みます。これは、第 $j$ 行を第 $i$ 行で置き換えた行列の余因子展開に等しくなります。

その行列は同じ行を 2 つ持つので、行列式は $0$ です。したがって対角以外はすべて $0$ になり、$A\tilde{A}=(\det A)I$ が得られます。

例：ちがう行の余因子と組むと 0 になる

さきほどの $A$ で確かめます。第 1 行の成分に、第 2 行の余因子を掛けて足します。

$$1\cdot C_{21}+2\cdot C_{22}+3\cdot C_{23}=1\cdot 18+2\cdot (-15)+3\cdot 4$$

計算すると $18-30+12=0$ です。

これは、第 2 行を第 1 行で置き換えた行列の行列式にあたります。第 1 行と第 2 行が同じ行列なので、値が $0$ になるのは当然です。

行列式が 0 のとき

$\det A=0$ でも余因子行列そのものは作れます。ただし $A\tilde{A}=O$ となり、逆行列は得られません。

階数によって $\tilde{A}$ の姿が決まります。階数が $n-1$ なら $\tilde{A}$ の階数は $1$、階数が $n-2$ 以下なら $\tilde{A}$ は零行列です。

階数 $n-1$ の場合、$\tilde{A}$ の列は $Ax=0$ の解の定数倍になります。核の情報が余因子行列に残るわけです。

例：階数が落ちた行列で確かめる

2 次で階数が $1$ の行列を取ります。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$$

$\tilde{A}$ は対角を入れ替えて符号を変えるだけなので、$(4,-2;-2,1)$ です。階数はやはり $1$ になります。

$A\tilde{A}$ を計算すると零行列です。$\det A=0$ なので $(\det A)I$ もまた零行列で、等式は成り立っています。

3 次で成分がすべて $1$ の行列なら、話はさらに単純です。2 次の小行列式がすべて $0$ なので、余因子行列は零行列になります。階数が $n-2$ 以下だと、こうなります。

余因子行列の性質

行列式についてはきれいな式が知られています。

$$\det \tilde{A}=(\det A{)}^{n-1}$$

積については順序が入れ替わります。転置と同じ振る舞いです。

$$\widetilde{AB}=\tilde{B}\tilde{A}$$

2 回とると、もとの行列にほぼ戻ります。$n\ge 2$ で $\widetilde{\stackrel{~}{A}}=(\det A{)}^{n-2}A$ が成り立ちます。

例：対角行列で確かめる

対角行列なら余因子行列も対角行列で、成分は残りの対角成分の積になります。

$$D=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),\tilde{D}=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right)$$

$D\tilde{D}$ は対角成分がすべて $6$ で、$\det D=6$ と合っています。

$\det \tilde{D}=3\cdot 2\cdot 6=36$ です。$(\det D{)}^{n-1}=6^2=36$ と一致します。

クラメルの公式とのつながり

$A^{-1}b$ を成分で書き下すと、クラメルの公式になります。第 $j$ 成分の分子は、$A$ の第 $j$ 列を $b$ に置き換えた行列の行列式です。

余因子行列を作る計算と、クラメルの公式で分子を並べる計算は、同じものを別の順序で書いているだけです。

計算量では掃き出し法に負ける

余因子は $n^2$ 個あり、それぞれが $n-1$ 次の行列式です。定義どおりに進めると、手数は階乗の勢いで増えます。

掃き出し法なら $n^3$ 程度で逆行列が求まります。4 次を超えたあたりから、差は決定的になります。

数値計算でこの公式を使うことは、まずありません。それでも消えないのは、成分の式として書けることに価値があるからです。

それでも役に立つ場面

2 次と 3 次では、手で計算するのに向いています。特に 2 次の公式は、そのまま覚えて使う形です。

理論の場面でも効きます。逆行列の成分が $\det A$ の分数式で書けるので、成分がどう動くかを議論できます。行列式が $\pm 1$ の整数行列の逆行列が整数になる、という事実もここから出ます。

$A\tilde{A}=(\det A)I$ は $\det A=0$ でも成り立つので、正則でない場合の議論にも使えます。ケイリー・ハミルトンの定理の証明にも顔を出します。

他の話題とのつながり

余因子展開そのものは余因子展開による行列式の計算の記事に、行列式の性質は行列式の基本性質の記事にあります。

逆行列の存在条件や求め方の全体像は、正則行列と逆行列の記事で扱っています。3 次の行列式を手早く求めるならサラスの方法が使えます。

逆行列を持たない行列を相手にするときは、疑似逆行列という別の道具があります。

よくある誤り

参考文献