深さと次元はどこに現れるか？局所コホモロジーの消えない段

加群のうち、イデアル $I$ の冪で消される元だけを集める。この操作の導来関手が局所コホモロジーです^[5]。

何段目で消えなくなるかが深さ、何段目まで生き残るかが次元。2 つの不変量が、同じ列の両端として現れます。

冪で消される元を集める

イデアル $I\subseteq R$ と加群 $M$ に対し、次の部分加群をとります。

$${\Gamma }_I(M)=\left\{m\in M|I^{n}m=0\text{ となる }n\text{ がある}\right\}$$

$I$ ねじれ部分と呼びます^[4]。幾何で言えば、台が $V(I)$ に収まっている部分。

${\Gamma }_I$ は左完全ですが、完全ではありません。全射を送っても全射になるとはかぎらない。

そこで導来関手をとります。$H_I^i(M)=R^i{\Gamma }_I(M)$ と書き、局所コホモロジーと呼びます^[2]。

Čech 複体で計算する

入射分解をとるのは大変です。$I$ の生成元があれば、もっと素朴な複体で計算できます^[3]。

$I=(f_1,\dots ,f_r)$ とすると、次の複体のコホモロジーが局所コホモロジーになります。

$$0\to M\to \underset{i}{⨁}{M}_{f_i}\to \underset{i<j}{⨁}{M}_{f_i{f}_j}\to \cdots \to M_{f_1\cdots f_r}\to 0$$

各項は局所化です。分母を許すたびに、どんどん大きな加群になっていく。

生成元の本数で上から抑えられる、という結論がここから出ます。$I$ を少ない元で生成できるほど、消えない段が狭くなる。

例：直線から 1 点を抜く

$R=k[x]$、$I=(x)$ で計算します。生成元が 1 個なので複体は $0\to R\to R_x\to 0$。

$H^0$ は $R\to R_x$ の核です。$R$ は整域なので $x$ による局所化は単射。だから $H_{(x)}^0(R)=0$。

$H^1$ は余核になります。

$$H_{(x)}^1(k[x])=k[x,x^{-1}]/k[x]$$

$x^{-1},x^{-2},x^{-3},\dots$ が張る無限次元の空間です。有限生成の加群から出発しても、局所コホモロジーは有限生成になりません。

上と下から挟む

局所環 $(R,\mathfrak{m})$ と有限生成加群 $M\ne 0$ をとります。$M$ の次元を $d$、深さを $t$ とする。

このとき $H_{\mathfrak{m}}^i(M)$ が $0$ でない段は、$t$ 以上 $d$ 以下に収まります^[1]。

さらに両端では実際に $0$ になりません。$H_{\mathfrak{m}}^t(M)\ne 0$ かつ $H_{\mathfrak{m}}^d(M)\ne 0$ が成り立つ。

上側の消滅が Grothendieck の消滅定理、両端が消えないことが非消滅定理です^[1]。

深さの定義そのものになる

いちばん下の段を見ると、深さがそのまま出てきます^[4]。

$${\mathrm{depth}}_I(M)=\inf \left\{i|H_I^i(M)\ne 0\right\}$$

正則列の長さとして定義した深さと一致します。正則列を使わずに深さを定義できる、という言い方もできる。

正則列は存在しないこともあり、扱いにくい場面があります。局所コホモロジーの側から定義すると、その困りごとが消えます。

Cohen-Macaulay の言いかえ

帯の上端と下端が一致する場合を考えます。深さと次元が同じ値になる状態です。

このとき $H_{\mathfrak{m}}^i(M)$ は $i=d$ 以外ですべて $0$ になります^[5]。消えない段がちょうど 1 つ。

低い段が消えないのは、埋め込まれた成分や次元のずれがあるときです。幾何で言えば、余分な点や低次元の枝がくっついている。

例：埋め込まれた点がある環

$R=k[x,y]/(x^2,xy)$ を見ます。次元は $1$ です。

$x$ をとると $x\cdot x=0$、$y\cdot x=0$ なので、$\mathfrak{m}x=0$。極大イデアルで消える元があります。

だから $H_{\mathfrak{m}}^0(R)\ne 0$ で、深さは $0$。次元 $1$ とずれています。

帯が $2$ 段にまたがるので Cohen-Macaulay ではありません^[1]。直線に点が 1 つ埋め込まれた形です。

局所双対

Cohen-Macaulay 局所環で標準加群 ${\omega }_R$ を持つ場合、局所コホモロジーが Ext で書けます^[1]。

$$H_{\mathfrak{m}}^i(M{)}^{\vee }\cong {\mathrm{Ext}}_R^{d-i}(M,{\omega }_R)$$

$\vee$ は Matlis 双対です。左辺は有限生成でない大きな加群ですが、右辺は有限生成。

計算しにくい側を、計算しやすい側へ移す道具になります。段の番号が $d$ から引いた形でひっくり返る。

深さは下端、次元は上端。ばらばらに定義していた 2 つの量が、同じ列の両端として並びます。

出典