素イデアルごとに確かめれば足りる - 加群の局所大域原理

加群が $0$ かどうかは、素イデアルごとに調べれば決まります。すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ で $M_{\mathfrak{p}}=0$ なら $M=0$^[1]。

単射も全射も完全性も平坦性も同じ。大域の主張を、局所環という扱いやすい場所へ落とせます。

局所化は完全関手である

局所化 $S^{-1}R$ は $R$ 上平坦です^[2]。完全列を局所化しても完全列のまま。

$$0\to M^{\prime }\to M\to M^{\prime \prime }\to 0$$

この列を $S^{-1}$ で送ると、また短完全列になります。核も余核も局所化と交換する。

$$(\ker f{)}_{\mathfrak{p}}=\ker (f_{\mathfrak{p}}),(\mathrm{coker}f{)}_{\mathfrak{p}}=\mathrm{coker}(f_{\mathfrak{p}})$$

この交換が、これから見るすべての「局所で足りる」の元になります。

$0$ であることは局所で決まる

$M=0$ ならどの局所化も $0$。これは明らかです。問題は逆向き。

$M\ne 0$ と仮定して、$0$ でない元 $x\in M$ をとります。消滅イデアル $\mathrm{Ann}(x)=\{r\in R\mid rx=0\}$ を考える。

$1\cdot x=x\ne 0$ なので $1\notin \mathrm{Ann}(x)$ です。真のイデアルなので、ある極大イデアル $\mathfrak{m}$ に含まれます。

この $\mathfrak{m}$ で局所化すると $x/1\ne 0$ になる。もし $x/1=0$ なら、$\mathfrak{m}$ の外にある $s$ で $sx=0$ となり、$s\in \mathrm{Ann}(x)\subseteq \mathfrak{m}$ と矛盾します。

証明に出てきたのは消滅イデアルと極大イデアルだけ。ネーター性も有限生成性も要りません。

例：$\mathbb{Z}/6$ の局所化

$M=\mathbb{Z}/6$ を素数ごとに局所化します。${\mathbb{Z}}_{(2)}$ では $3$ が可逆なので、$6{\mathbb{Z}}_{(2)}=2{\mathbb{Z}}_{(2)}$。

だから $M_{(2)}={\mathbb{F}}_2$ です。同じように $M_{(3)}={\mathbb{F}}_3$。

$p\ge 5$ では $6$ 自体が可逆になり、$M_{(p)}=0$ になります。

$M_{\mathfrak{p}}\ne 0$ となる $\mathfrak{p}$ を集めた集合が台です。ここでは $\{(2),(3)\}$ の 2 点だけ。

単射・全射・完全性

写像 $f:M\to N$ が単射であることは、$\ker f=0$ と同じです。核は局所化と交換します。

だから $f$ が単射であることと、すべての $\mathfrak{p}$ で $f_{\mathfrak{p}}$ が単射であることが一致する^[1]。

全射は余核で同じ議論。全単射も、単射と全射を合わせれば出ます。

複体 $M_1\to M_2\to M_3$ が完全であることも局所的です。核と像がどちらも局所化と交換するためです。

平坦性も局所的

$M$ が平坦であることと、すべての素イデアルで $M_{\mathfrak{p}}$ が $R_{\mathfrak{p}}$ 上平坦であることは同値です^[4]。極大イデアルだけで確かめても足ります。

平坦性の判定が局所環の話に落ちる。局所環では極大イデアルが 1 つしかないので、扱いがずっと軽くなります。

有限表示の加群なら、平坦性は局所自由性と同じになる^[4]。各点で自由になっていれば平坦だと分かります。

これらはすべて局所的な性質です^[2]。大域の主張を、点ごとの主張に置きかえられる。

極大イデアルだけで足りる

素イデアル全体で確かめる必要はありません。極大イデアルだけで同じ結論が出ます^[1]。

理由は簡単です。任意の素イデアル $\mathfrak{p}$ は、ある極大イデアル $\mathfrak{m}$ に含まれます。$M_{\mathfrak{m}}=0$ なら $M_{\mathfrak{p}}$ はその局所化なので、やはり $0$。

確かめる相手が減るので、実際の計算では極大イデアル版を使います。

有限個の元で覆う版

もっと粗い覆い方でも足ります。$f_1,\dots ,f_n\in R$ が単位イデアルを生成するとしましょう。

$$(f_1,\dots ,f_n)=R$$

このとき $M=0$ と、すべての $i$ で $M_{f_i}=0$ が同値になります。有限個で済む点が効きます。

幾何の言葉なら、$\mathrm{Spec}R$ を有限個の基本開集合で覆ったことにあたる。素イデアルは無限にあっても、確かめる場所は $n$ 個。

局所的でない性質もある

すべてが局所で決まるわけではありません。自由性がその例です。

デデキント整域の単項でないイデアルを $I$ とします。$I$ は各局所化で階数 $1$ の自由加群になる。局所環では単項イデアルになるためです。

ところが $I$ 自体は自由ではありません。自由なら単項になってしまう。

局所自由でありながら自由でない。この差を測る量が因子類群や Picard 群になります。

使い方の型

局所大域原理の使い道は、証明を局所環へ移すことです。局所環には道具が多い。

極大イデアルが 1 つしかないので、中山の補題が素直に効きます。生成元の個数も剰余体上の次元で測れる。

証明を書くときは、最初に「$\mathfrak{m}$ を任意の極大イデアルとする」と置いて始めます。あとは局所環の議論だけ。

例：ねじれなしを局所で見る

$R$ を整域、$M$ を $R$ 加群とします。$M$ がねじれなしであることは局所的です^[3]。

ねじれ部分加群 $T(M)$ は局所化と交換します。$T(M{)}_{\mathfrak{p}}=T(M_{\mathfrak{p}})$ となる。

だから $T(M)=0$ を示すには、各 $\mathfrak{p}$ で $T(M_{\mathfrak{p}})=0$ を見れば足ります。

例：有限生成のとき局所化が消える条件

$M$ が有限生成なら、$S^{-1}M=0$ と「$S$ の中に $M$ 全体を消す元がある」が同値です^[2]。

生成元 $x_1,\dots ,x_n$ のそれぞれに $s_i$ をとり、積 $s=s_1\cdots s_n$ を作る。この $s$ が $M$ を消します。

有限生成でないと積がとれません。無限個の分母を一度に払えないためです。

$0$ かどうかを点ごとに見る。この 1 つの原理から、単射も完全性も平坦性も同じ形で従います。

参考文献