二重双対に戻る加群とは何か？反射的加群と因子類群

加群 $M$ から二重双対 $M^{\ast \ast }$ への自然な写像が同型になるとき、$M$ を反射的と呼びます^[5]。

正規ネーター整域の上では、階数 $1$ の反射的加群の同型類が群をなします。その群が因子類群であり、環が一意分解整域からどれだけ離れているかを測ります^[3]。

双対加群

$M^{\ast }={\mathrm{Hom}}_R(M,R)$ を双対加群と呼びます。$M$ から $R$ への線形写像を集めたもの。

もう一度双対をとると $M^{\ast \ast }=(M^{\ast }{)}^{\ast }$ になります。ここに $M$ からの自然な写像が入る。

$$\sigma :M\to M^{\ast \ast },\sigma (m)(f)=f(m)$$

元 $m$ を「$f$ に $f(m)$ を返す関数」と見なす写像です^[2]。線形代数のベクトル空間で見た構成と同じ形。

3 段階の条件

$\sigma$ に何を要求するかで、名前が分かれます。

単射なら torsionless、全単射なら反射的です^[5]。何も要求しなければ、ただの加群。

有限生成の自由加群は反射的になります。基底の双対基底をとれば、$\sigma$ が同型だと直に確かめられる。射影加群も反射的です。

整域の上では、有限生成でねじれがないことと torsionless であることが一致します。分母を払えば自由加群に埋め込めるためです。

例：$\sigma$ が壊れる場合

$\mathbb{Z}$ 加群 $M=\mathbb{Z}/n$ をとります。${\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/n,\mathbb{Z})=0$ なので $M^{\ast }=0$。

二重双対も $0$ になり、$\sigma$ は単射になりません。ねじれがあると双対が潰れます。

次は $M=\mathbb{Q}$。ねじれはありませんが、${\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Q},\mathbb{Z})=0$ です。

有限生成でない場合には、ねじれがなくても双対が消えることがある。有限生成という条件が効いています。

高さ 1 の素イデアルだけで決まる

正規ネーター整域では、反射的であることが余次元 $1$ の情報だけで書けます^[1]。

$$M\text{ が反射的}⟺M=\bigcap _{\mathrm{ht}\mathfrak{p}=1}{M}_{\mathfrak{p}}$$

高さ $1$ の素イデアルで局所化すると離散付値環になります^[4]。そこでの様子をすべて集めて交わらせると、反射的加群が復元される。

言いかえると、余次元 $2$ 以上でどうなっていても結果に響きません。反射的加群は、低い余次元の情報だけで決まる対象です。

Serre の $S_2$ 条件との関係

反射的加群は $S_2$ を満たします^[1]。余次元 $1$ で随伴素イデアルを持たない、という条件です。

深さの言葉で書けば、各素イデアルで $\mathrm{depth}{M}_{\mathfrak{p}}\ge \min (2,\dim R_{\mathfrak{p}})$ が成り立つ。

$S_2$ があるからこそ、余次元 $1$ の情報を貼り合わせて全体が復元できます。低い余次元で穴が開いていないという条件です。

階数 1 のものを集めると群になる

$R$ を正規ネーター整域とし、階数 $1$ の反射的加群だけを集めます。同型類のあいだに演算が入ります^[2]。

$$[M]+[N]=\left[(M{\otimes }_{R}N{)}^{\ast \ast }\right]$$

テンソル積は反射的とは限りません。そこで二重双対をとり、反射包へ戻す。この一手間で演算が閉じます。

逆元は双対です。$-[M]=[M^{\ast }]$ となり、単位元は $[R]$。

因子類群

こうしてできた群を因子類群と呼び、$\mathrm{Cl}(R)$ と書きます^[3]。因子イデアルの群を単項イデアルで割った商、という書き方もある。

高さ $1$ の素イデアルの類が生成元になります。単項なら $0$、単項でなければ $0$ でない元。

因子類群は、一意分解からのずれをそのまま測る量です^[4]。$0$ に近いほど分解が素直になる。

例：二次錐

$R=k[x,y,z]/(xy-z^2)$ をとります。原点に頂点を持つ二次錐の座標環です。

$P=(x,z)$ は高さ $1$ の素イデアルで、単項ではありません。だから $[P]\ne 0$。

一方 $P^2=(x^2,xz,z^2)$ で、$z^2=xy$ を使うと $P^2=x\cdot (x,y,z)$ になります。反射包をとると極大イデアルのぶんが消えて $(x)$ が残る。

$$2[P]=\left[(P^2{)}^{\ast \ast }\right]=[(x)]=0$$

位数 $2$ の元です。実際 $\mathrm{Cl}(R)=\mathbb{Z}/2$ になります^[1]。

幾何で見ると分かりやすい形です。円錐の上には母線という直線が乗っています。

母線 1 本は、方程式 1 本では切り出せません。ところが 2 本合わせると平面で切った形になり、方程式 1 本で書ける。

例：$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$

代数的整数の側にも同じ現象があります。$R=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ の $I=(2,1+\sqrt{-5})$ をとる。

$I$ は単項ではありませんが、$I^2=(2)$ で単項になります。位数 $2$ の元です。

デデキント整域では、反射的加群と可逆加群が一致します。因子類群がイデアル類群と同じものになる。

Picard 群との差

可逆な加群、つまり局所自由で階数 $1$ のものだけを集めた群が Picard 群です。$\mathrm{Pic}(R)\subseteq \mathrm{Cl}(R)$ となります。

二次錐では $\mathrm{Pic}(R)=0$ ですが $\mathrm{Cl}(R)=\mathbb{Z}/2$。差が出るのは、頂点の局所環が一意分解でないためです。

すべての局所環が一意分解整域なら、2 つの群は一致します^[3]。正則な環ではこの条件が成り立つ。

反射包という操作

任意の有限生成でねじれのない加群 $M$ に対し、$M^{\ast \ast }$ が反射包になります。$M$ を最小限だけ太らせて反射的にしたもの。

高さ $1$ の素イデアルでの交わりをとる操作と同じです。余次元 $2$ 以上で開いている穴を埋める、と読めます。

余次元 $1$ だけを見て貼り合わせる。この視点を持つと、特異点のある環でも因子の言葉が使えるようになります。

参考