拡大した先の情報がもとの環まで降りてくる……忠実平坦降下

扱いにくい環 $R$ の上で何かを示したいとき、大きくて扱いやすい環 $S$ へ移す手が使えます。$R\to S$ が忠実平坦なら、$S$ で言えたことが $R$ まで降りてくる^[3]。

降りてくる範囲を正確に決めたものが降下理論です。加群そのものを作り直すところまで届きます。

忠実平坦という条件

$S$ が $R$ 加群として平坦で、さらに次を満たすとき忠実平坦と呼びます。$M{\otimes }_{R}S=0$ なら $M=0$。

平坦なだけでは足りません。情報が落ちない、という条件を足したものです。

言いかえもあります。$\mathrm{Spec}S\to \mathrm{Spec}R$ が全射になること。どの素イデアルの上にも点が乗っている状態です。

局所化 $S^{-1}R$ は平坦ですが、忠実平坦とはかぎりません^[4]。$\mathbb{Z}\to \mathbb{Q}$ では、有限アーベル群が全部消えてしまいます。

基本になる完全列

忠実平坦な $R\to S$ と任意の $R$ 加群 $M$ に対し、次が完全列になります^[1]。

$$0\to M\to M{\otimes }_{R}S\to M{\otimes }_{R}S{\otimes }_{R}S$$

右向きの写像は 2 通りあり、その差をとります。$m\otimes s\mapsto m\otimes 1\otimes s-m\otimes s\otimes 1$ という形。

Amitsur 複体と呼ばれる列です^[5]。$M$ が、拡大した先で「2 通りの入れ方が一致する部分」として復元されます。

$R$ 自身に当てはめると、$R$ が $S$ の中で切り出せます。大きい環の中に、もとの環が方程式で書ける形で埋まっている。

例：有限個の局所化を束ねる

$f_1,\dots ,f_n\in R$ が単位イデアルを生成するとします。積 $S=R_{f_1}\times \cdots \times R_{f_n}$ をとる。

各成分は平坦で、$\mathrm{Spec}$ 全体を覆うので全射になります。だから $S$ は忠実平坦です。

このとき Amitsur 複体は、開被覆での貼り合わせの条件そのものになります。重なりで一致する切断が、全体の切断になる。

Zariski の貼り合わせが、忠実平坦降下の特別な場合として出てきます^[5]。

降下データ

逆向きの問題を考えます。$S$ 加群 $N$ が与えられたとき、$N\cong M{\otimes }_{R}S$ となる $R$ 加群 $M$ はあるか。

そのままでは足りません。$N$ に付加情報を要求します^[2]。

$$\phi :S{\otimes }_{R}N⟶N{\otimes }_{R}S$$

$S{\otimes }_{R}S$ 加群としての同型で、さらに $S{\otimes }_{R}S{\otimes }_{R}S$ の上で整合する条件を満たすもの。これを降下データと呼びます。

整合条件は、3 つ組の重なりで 2 つの経路が一致する、という形です。位相での貼り合わせに出てくる条件と同じ形をしています。

Grothendieck の定理

降下データを付けると、過不足なく対応します^[2]。

$R$ 加群の圏と、降下データを備えた $S$ 加群の圏が同値になる。$M\mapsto (M{\otimes }_{R}S,\phi )$ が圏同値を与えます。

つまり「$R$ 加群を与えること」と「$S$ 加群に貼り合わせ方を添えて与えること」が同じ内容です。

証明の要が Amitsur 複体の完全性でした^[1]。降下データから、もとの加群を切り出す道具になります。

何が降りてくるか

加群の性質も降りてきます。$M{\otimes }_{R}S$ について言えることが、$M$ について言える^[3]。

環の性質でも同じ形の主張があります。ネーター性や正則性、被約性、正規性の多くが、忠実平坦な拡大を通じて行き来します。

大きい環で確かめるほうが楽な場面は多い。完備化や多項式環への拡大が、その典型です。

例：体の拡大で降ろす

$L/K$ を有限次 Galois 拡大とし、群を $G$ とします。$L$ は $K$ 上忠実平坦です。

このとき $L{\otimes }_{K}L$ は $G$ の元で添字づけられた $L$ の積になります。降下データが、$G$ の半線形な作用に化ける。

だから $L$ ベクトル空間に $G$ の作用を与えることと、$K$ ベクトル空間を与えることが同じになります。Galois 降下と呼ばれる形です^[5]。

$K$ の側の情報を、係数を広げた先の対称性として書き直す。この見方から Hilbert の定理 90 のような結果が出てきます。

使い方の型

拡大先の選び方が腕の見せどころです。完備化、多項式環、有限次拡大、開被覆の積。どれも忠実平坦になります。

歴史

降下という考え方は、1955 年から 1965 年ごろに整理されました^[6]。位相での貼り合わせを、代数の言葉に置き直す試みです。

Grothendieck が 1959 年のセミナーで「降下の定理と存在の技法」という題で扱っています^[6]。表現可能関手やモジュライの問題と結びついていきました。

拡大した先で確かめ、貼り合わせ方を添えて戻す。この往復が、可換環論と代数幾何の多くの証明で土台になっています。

参考文献