無駄のない分解はただ一つ〜極小自由分解と Betti 数

加群を自由加群でつないで書き表す方法が自由分解です。とり方は無数にありますが、無駄を削ると 1 つに決まります^[1]。

そこに現れる自由加群の階数が Betti 数。加群に付いた番号として、環と加群の情報を運びます。

生成元だけでは足りない

有限生成加群 $M$ に生成元 $m_1,\dots ,m_b$ をとると、全射 $R^b\to M$ ができます。

これで終わりにはできません。生成元のあいだに関係があるためです。$a_1{m}_1+\cdots +a_b{m}_b=0$ という等式が成り立つことがある。

関係の全体も加群になります。これを syzygy 加群と呼びます^[5]。ギリシャ語で「連れ添うもの」という意味の語から来ています。

syzygy 加群にも生成元をとり、その関係を調べる。この繰り返しが自由分解です。

無駄を削る

自由分解のとり方は 1 つではありません。生成元を余分にとれば、いくらでも太らせられます。

削るための条件が極小性です。局所環 $(R,\mathfrak{m},k)$ や次数付き環で、各写像の行列成分がすべて $\mathfrak{m}$ に入っていること^[1]。

成分に単元があると、その行と列を掃き出せます。$R\to R$ の恒等写像がひと組ぶん現れていて、そこは削れる。

極小自由分解は、同型を除いて一意に決まります^[1]。だから各段の階数が、加群だけで決まる不変量になる。

Betti 数

極小自由分解の第 $i$ 段の階数を ${\beta }_i$ と書き、Betti 数と呼びます。

同じものが Tor でも書けます^[2]。

$${\beta }_i={\dim }_k{\mathrm{Tor}}_i^R(M,k)$$

理由は極小性です。極小分解を ${\otimes }_{R}k$ で送ると、写像の成分が $\mathfrak{m}$ に入っているので全部 $0$ になる。残るのは各段の $k$ ベクトル空間だけです。

だから Tor の次元がそのまま階数になります。分解のとり方によらないことも、この式から言える。

例：剰余体を分解する

$R=k[x,y]$ で $M=R/(x,y)=k$ をとります。生成元は $1$ 個。

関係は $x\cdot 1=0$ と $y\cdot 1=0$ の 2 本です。次の段は階数 $2$。

その 2 本のあいだの関係は $y\cdot (x)-x\cdot (y)=0$ の 1 本だけ。階数 $1$ で終わります。

$$0\to R\to R^2\to R\to k\to 0$$

Betti 数は $1,2,1$ です。これが Koszul 複体^[4]。

変数が $n$ 本なら、階数は二項係数になります。$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right),\dots ,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)$ と並ぶ。

$x_1,\dots ,x_n$ が正則列なら、Koszul 複体が $R/(x_1,\dots ,x_n)$ の自由分解になります^[4]。変数はいつでも正則列なので、この形が出る。

長さは変数の本数で止まる

Hilbert の syzygy 定理が、分解の長さを抑えます^[1]。

$k[x_1,\dots ,x_n]$ 上の有限生成加群は、長さ $n$ 以下の自由分解を持ちます。$n$ 段目の syzygy 加群が必ず自由になる。

1890 年の論文で示された結果です^[1]。ホモロジー代数という分野ができる前の、その最初期の定理にあたります。

環の側で言えば、大域次元が $n$ になるということ。有限の大域次元を持つことと正則であることが対応します^[3]。

次数付き Betti 数

次数付き環なら、階数だけでなく次数まで見られます。$F_i$ の生成元が何次に現れるかを数える。

${\beta }_{i,j}$ を、第 $i$ 段の $j$ 次の生成元の個数とします。これを表に並べたものが Betti 表です。

$${\beta }_{i,j}={\dim }_k{\left({\mathrm{Tor}}_i^R(M,k)\right)}_j$$

表を見ると、分解の形が一目で分かります。どの段にどの次数の関係が現れるか。

例：ねじれ 3 次曲線

${\mathbb{P}}^3$ のねじれ 3 次曲線をとります。定義イデアル $I$ は 2 次式 3 本で生成されます。

その 3 本のあいだの関係は 2 本。分解は次の形で終わります。

$$0\to R(-3{)}^2\to R(-2{)}^3\to I\to 0$$

生成元が 3 個で関係が 2 個。生成元より関係のほうが少ない、という形が特徴です。

3 本の 2 次式は、$2\times 3$ 行列の $2$ 次の小行列式として書けます。行列 1 つで分解が決まっている。

Hilbert-Burch の定理

いまの形は偶然ではありません。余次元 $2$ の Cohen-Macaulay イデアルは、いつでもこの形になります^[6]。

$m\times (m+1)$ の行列をとり、その最大次数の小行列式を並べる。それが生成元になります。

1890 年に Hilbert が多項式環で示し、1968 年に Burch が一般化しました^[6]。

Betti 数から何が読めるか

Betti 数が並ぶと、そこから別の不変量が出てきます。

Hilbert 級数は交代和で書けます。各段の生成元の次数を、符号を変えながら足し合わせる形です。

分解が終わらない場合

多項式環では必ず止まりますが、一般の環ではそうなりません。

$R=k[x]/(x^2)$ で $M=k$ をとります。$x$ を掛ける写像が延々と続き、分解は無限に伸びる。Betti 数はずっと $1$ のままです。

止まるかどうかが正則性と結びついています。剰余体の分解が有限で終わる環が、正則局所環です。

無駄を削ると形が 1 つに決まる。その形に付いた数が、加群と環の両方を測る物差しになります。

参考文献