共通解があるかどうかを行列式ひとつで見分ける（終結式と消去理論）

2 つの多項式が共通の根を持つかどうかは、根を求めずに判定できます。係数だけを並べた正方行列を作り、その行列式をとるだけ。

値が $0$ なら共通根があり、 $0$ でなければない。この行列式を終結式と呼びます^[1]。

共通因子の有無を線形代数に置きかえる

体 $k$ の上で $f$ の次数を $m$ 、 $g$ の次数を $n$ とします。どちらも $1$ 以上とする。

$f$ と $g$ が定数でない共通因子 $h$ を持つとしましょう。 $f = h f_{1}$ 、 $g = h g_{1}$ と書けます。

このとき $g_{1} f - f_{1} g = h f_{1} g_{1} - h f_{1} g_{1} = 0$ です。 $de g g_{1} < n$ かつ $de g f_{1} < m$ なので、次数の小さい組み合わせで $0$ が作れたことになる。

逆も成り立ちます。 $de g A < n$ 、 $de g B < m$ で両方は $0$ でない $A$ 、 $B$ が $A f + B g = 0$ を満たすなら、 $f$ と $g$ は共通因子を持つ。

理由は一意分解性にあります。 $A f = - B g$ で $f$ と $g$ が互いに素なら、 $f$ は $B$ を割り切るしかない。 $de g B < m$ と矛盾します。

つまり共通因子の有無は、次の線形写像が単射かどうかと同じ問題になる。

$(A, B) ⟼ A f + B g$

定義域は $de g A < n$ と $de g B < m$ を満たす組の空間で、次元は $n + m$ 。値域は次数が $m + n$ 未満の多項式全体で、次元はやはり $m + n$ 。

次元が等しいので、単射でないことと行列式が $0$ になることが一致します。

この行列式が終結式であり、 $Res (f, g)$ と書きます。

係数から機械的に作れて、共通因子があるかどうかだけを見分ける量。

シルベスター行列

基底を単項式にとって、いまの線形写像を行列で書き下します。ここで現れる行列をシルベスター行列と呼びます^[3]。

大きさは $(m + n) \times (m + n)$ 。 $f$ の係数を並べた行が $n$ 本、 $g$ の係数を並べた行が $m$ 本^[3]。

各行は 1 つずつ右へずらして置きます。これは $x$ を掛ける操作に対応する。

行の本数が逆になっている点は、間違えやすいところ。 $f$ の係数は $n$ 本、 $g$ の係数は $m$ 本です。

$A$ の次数が $n$ 未満なので、 $f$ に掛ける単項式が $1, x, \dots, x^{n - 1}$ の $n$ 個。そこから来ています。

例：2 次と 1 次

$f = x^{2} - 1$ と $g = x - t$ で試します。 $m = 2$ 、 $n = 1$ なので $3 \times 3$ の行列。

$110 0 - t 1 - 1 0 - t$

行列式は $t^{2} - 1$ になります。 $t = 1$ と $t = - 1$ で $0$ になる。

$g$ の根は $t$ で、 $f$ の根は $\pm 1$ 。根が一致した瞬間に終結式が消えます。

根の積で書ける

$f$ の根を $α_{1}, \dots, α_{m}$ 、 $g$ の根を $β_{1}, \dots, β_{n}$ とします。代数閉体の中で重複を込めて数える。

このとき終結式は根の差の積になります^[2]。

$Res (f, g) = a_{m}^{n} b_{n}^{m} i = 1 \prod m j = 1 \prod n (α_{i} - β_{j})$

差の積という形を見れば、共通根があるときに $0$ になる理由がそのまま読めます。どこか 1 つの因子が消えるだけ。

$β_{j}$ をまとめると、 $g$ の値を $f$ の根で測る形にもなる。

$Res (f, g) = a_{m}^{n} i = 1 \prod m g (α_{i})$

順序を入れかえると符号が変わります。 $Res (f, g) = (- 1)^{mn} Res (g, f)$ です^[4]。

例：共通根がある場合とない場合

$f = x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ と $g = x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)$ を見ます。根 $1$ を共有している。

根の積で書くと $g (1) \cdot g (2) = 0 \cdot (- 1) = 0$ です。行列式を展開しても $0$ になります。

次は共通根がない例。 $f = x^{2} - 1$ 、 $g = x^{2} - 4$ とします。

$g (1) = - 3$ 、 $g (- 1) = - 3$ なので $Res = (- 3) (- 3) = 9$ です。 $0$ から離れているほど根どうしが離れている、という読み方もできる。

共通因子があれば終結式は 0 になる。

終結式が 0 なら共通因子がある。

どちらも先頭係数が 0 でない限りで成り立つ。

先頭係数が消える場合だけは扱いが変わります。次数の下がった多項式として作り直すか、無限遠での交わりとして数えることになる。

イデアルの中に入っている

終結式には、判定の道具にとどまらない性質があります。 $f$ と $g$ が生成するイデアルの元になっている^[1]。

$Res (f, g) = A f + B g$

$de g A < n$ 、 $de g B < m$ を満たす $A$ 、 $B$ がとれます。ベズーの等式を、体でない係数環まで広げた形です。

証明はシルベスター行列の余因子から出ます。連立方程式を解く代わりに、余因子行列を掛ければ係数が具体的に書ける。

判定の道具として見る

終結式が 0 かどうかで、共通因子の有無が分かる

イデアルの元として見る

$f$ と $g$ の組み合わせで作れる、変数を含まない量

後者の見方が消去理論につながります。変数を含まない元をとり出せるということは、その変数を消せたということ。

変数を消す

ここから 2 変数にします。 $f, g \in k [x, y]$ を $y$ の多項式と見て、係数は $k [x]$ の元とする。

$y$ について終結式をとると、 $x$ だけの多項式が残ります。 $Res_{y} (f, g) \in k [x]$ です。

イデアルの元だったことを思い出すと、消去イデアル $⟨ f, g ⟩ \cap k [x]$ に入っていると分かる。

共通解 $(c, d)$ があれば、 $x = c$ を代入した $f (c, y)$ と $g (c, y)$ が $y = d$ を共有します。だから $Res_{y} (f, g) (c) = 0$ 。

つまり終結式の根は、解の $x$ 座標をすべて含んでいます。解を射影した影を、方程式 1 本で書き下したことになる。

canvas: 絵を作れませんでした

例：円と直線

$f = x^{2} + y^{2} - 1$ と $g = x + y - 1$ をとります。 $y$ の多項式として見ると、 $f$ は 2 次で $g$ は 1 次。

シルベスター行列は $3 \times 3$ です。

$110 0 x - 1 1 x^{2} - 1 0 x - 1$

行列式は $(x - 1)^{2} + (x^{2} - 1) = 2 x^{2} - 2 x$ になります。因数分解すると $2 x (x - 1)$ 。

根は $x = 0$ と $x = 1$ 。実際の交点は $(0, 1)$ と $(1, 0)$ なので、 $x$ 座標が過不足なく出ています。

例：円と放物線

$f = x^{2} + y^{2} - 1$ と $g = y - x^{2}$ にします。同じく $y$ で消す。

$110 0 - x^{2} 1 x^{2} - 1 0 - x^{2}$

行列式は $x^{4} + x^{2} - 1$ です。 $x^{2} = \frac{- 1 + 5}{2}$ が実数解を与える。

$g$ から $y = x^{2}$ を代入した $x^{2} + x^{4} = 1$ と一致します。代入で解ける場合は代入と同じ答えになる、という確かめ方ができる。

代入が使えるのは $y$ について解けるときだけです。終結式はその条件を要りません。

判別式は自分自身との終結式

$f$ と $f^{'}$ の終結式をとると、重根の有無が分かります。重根は $f$ と $f^{'}$ の共通根だからです。

これを整えたものが判別式^[4]。

$disc (f) = \frac{( - 1 ) ^{n (n - 1) /2}}{a _{n}} Res (f, f^{'})$

2 次式 $a x^{2} + b x + c$ で計算すると $b^{2} - 4 a c$ が出ます。見慣れた判別式が、終結式の特別な場合として出てくる。

3 次式 $x^{3} + p x + q$ なら $- 4 p^{3} - 27 q^{2}$ です。

$p = - 3$ に固定して $q$ を動かすと、判別式は $108 - 27 q^{2}$ 。 $q = \pm 2$ で $0$ を通ります。

そのとき $x^{3} - 3 x \pm 2$ は重根を持ちます。グラフが $x$ 軸に接する瞬間です。

交点の個数を数える

$f$ と $g$ の次数を $m$ 、 $n$ とすると、 $Res_{y} (f, g)$ の $x$ についての次数は $mn$ 以下になります。

平面曲線が $mn$ 個より多くは交わらない、というベズーの定理の姿がここに出ている^[4]。

無限遠点と重複度まで数えれば、ちょうど $mn$ 個。終結式の次数が落ちる分は、無限遠へ逃げた交点にあたります。

次数がそのまま出る場合

円と直線なら $2 \times 1 = 2$ で、終結式も 2 次。交点も 2 個そろう。

次数が落ちる場合

先頭係数が消えると終結式の次数が下がる。落ちたぶんの交点は無限遠にある。

1 変数ずつしか消せない

終結式が扱うのは 2 つの多項式です。3 本以上の式や 3 変数以上を相手にするときは、繰り返し使うことになる。

$Res_{z} (f, g)$ と $Res_{z} (f, h)$ を作り、次に $y$ を消す。この手順で変数は減ります。

ただし途中で余計な因子が入り込みます。消去イデアルを正確に生成するとは限らない。

2 本ずつ終結式をとる

変数が 1 つ減る

余分な因子が付く

最後に本当の解かどうかを確かめ直す

消去イデアルそのものを求めたいときは、辞書式順序のグレブナー基底を使います。変数を一度にすべて整理できるためです^[1]。

計算量では終結式のほうが軽い。1 変数だけ消したい、交点の $x$ 座標だけ欲しい、という場面では今も現役です。

影は閉じているとは限らない

終結式が与えるのは、解の射影を含む代数的集合です。逆向きは自動では成り立ちません。

$Res_{y} (f, g) (c) = 0$ でも、 $x = c$ の上に解がない場合がある。 $f (c, y)$ と $g (c, y)$ の先頭係数が両方消えると、次数が落ちて判定が崩れます。

$f = x^{2} - 1$ 、 $g = x^{2} - 4$ の終結式はいくつですか。

__RESULT__

$f$ の根 $\pm 1$ を $g$ に代入すると $g (1) = - 3$ 、 $g (- 1) = - 3$ です。積は $9$ になります。共通根がないので $0$ にはなりません。

先頭係数が消えない範囲では、影はきちんと閉じた集合になります。消える点だけを別に調べれば足りる。

例：先頭係数が消える場合

$f = x y - 1$ と $g = y - x$ を $y$ で消します。 $f$ の $y$ の係数は $x$ です。

$Res_{y} (f, g) = x \cdot x - 1 = x^{2} - 1$ になる。根は $x = \pm 1$ で、実際に $(1, 1)$ と $(- 1, - 1)$ が解です。

ところが $f = x y - 1$ だけを見ると、 $x = 0$ の上に解はありません。 $y$ の係数が消えるためです。

この 1 点を除けば射影は素直に振る舞う。除いた点をどう扱うかが、消去理論の細かい部分になります。

係数だけで共通根の有無が決まる。この一点を軸にすると、判別式もベズーの定理も同じ道具の言いかえとして読めます。

出典

Resultant - Encyclopedia of Mathematics

Resultant - Wolfram MathWorld

Sylvester Matrix - Wolfram MathWorld

Resultant - Wikipedia

2 つの多項式が共通の根を持つかどうかは、根を求めなくても決まります。係数を並べた正方行列の行列式、つまり終結式が $0$ かどうかを見るだけ。シルベスター行列の組み立て方から始めて、根の差の積による表示、$Af + Bg$ の形でイデアルに入ること、そこから 2 変数の $y$ を消して交点の $x$ 座標をとり出す手順までをたどります。円と直線、円と放物線で実際に $3 \times 3$ の行列式を計算し、判別式が $f$ と $f'$ の終結式にすぎないことも確かめる。先頭係数が消えると判定が崩れる場面と、グレブナー基底との使い分けまで。