完備正則局所環はすべて冪級数環〜Cohen の構造定理

完備な正則局所環は、形式的冪級数環そのものです。次元が $d$ で剰余体が $k$ なら、$k[[x_1,\dots ,x_d]]$ と同型になる^[1]。

環の中身をどれだけ複雑に作っても、完備にして正則なら答えは 1 つ。決めるのは次元と剰余体の 2 つだけです。

完備化は何をしているか

局所環 $(R,\mathfrak{m})$ の $\mathfrak{m}$ 進完備化は、$\mathfrak{m}$ の冪で作った入れ子に沿って極限をとる操作です。

$$\hat{R}=\underset{n}{\underleftarrow{\lim }}R/{\mathfrak{m}}^n$$

各段で ${\mathfrak{m}}^n$ を無視した情報を並べ、すべての段で辻褄が合う列を集める。無限に続く近似を 1 つの元として認める操作です。

$R=k[x{]}_{(x)}$ を完備化すると $k[[x]]$ になります^[3]。有理式 $\frac{1}{1-x}$ が $1+x+x^2+\cdots$ として住める場所になる。

完備化しても次元は変わりません。正則かどうかも変わらない。$\hat{R}$ は $R$ 上忠実平坦なので、情報の落ちない拡大になっています。

そのうえで環は簡単になります。この落差が構造定理の使いどころです。

係数体という難所

$k[[x_1,\dots ,x_d]]$ には $k$ が部分環として入っています。剰余体が、環の中に実物として置かれている。

一般の局所環では、これが自明ではありません。${\mathbb{Z}}_p$ の剰余体は ${\mathbb{F}}_p$ ですが、${\mathbb{Z}}_p$ の中に ${\mathbb{F}}_p$ は入らない。標数が違うためです。

係数体があれば、$R$ の元は「剰余体の元 + 高次の項」という形に分解できます。この分解を無限に続けたものが冪級数です。

Cohen の証明では、この係数体の存在がいちばん重い部分でした^[1]。完備性を使い、持ち上げを無限に繰り返します。

等標数と混標数

$R$ の標数と $R/\mathfrak{m}$ の標数がそろっている場合を等標数と呼びます。そろっていない場合が混標数。

等標数は $R$ が体を含むことと同じです。含んだ体を係数体まで太らせる。ここが定理の第一段にあたります。

混標数では体が入りません。代わりに係数環を使います。剰余体が同じ完備離散付値環をとる形です。

この係数環に名前が付いています。Cohen 環です^[5]。体であるか、標数 $0$ の完備離散付値環で極大イデアルが素数 $p$ で生成されるか、どちらか。

主定理

完備ネーター局所環 $R$ が体を含むとき、次の形になります^[1]。

$$R\cong k[[x_1,\dots ,x_n]]/I$$

$k$ は剰余体で、$I$ はあるイデアルです。体を含まないときは、$k$ の代わりに Cohen 環を土台にした冪級数環の商になります^[5]。

正則な場合は $I$ が消えます。剰余になる余地がなく、冪級数環そのものになる。

どんな完備ネーター局所環も正則局所環の商になる、という言い方もできます^[2]。ここから普遍鎖状性が従う。

冪級数環が答えになる理由

なぜ商をとらずに済むのか。手順を追うと、正則性がどこで効くかが見えます。

$R$ が次元 $d$ の正則局所環なら、$\mathfrak{m}$ は $d$ 個の元 $t_1,\dots ,t_d$ で生成されます。正則性の中身は、$\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ の $k$ 上の次元がちょうど $d$ になることです。

係数体 $K$ をとり、$K[[x_1,\dots ,x_d]]\to R$ を $x_i\mapsto t_i$ で定めます。完備なので無限和が行き先を持ちます。

全射になることは中山の補題から出ます。$\mathfrak{m}$ が像に入っていれば、剰余を見て全体が像に一致する。

単射は次元の比較です。核が $0$ でなければ、商の次元が $d$ より小さくなってしまう。$\dim R=d$ に反します。

例：平面曲線の局所環

$k$ を標数 $2$ でない代数閉体として、$A=k[x,y]/(y^2-x^3)$ の原点での局所環を見ます。カスプと呼ばれる尖った特異点です。

完備化すると $k[[x,y]]/(y^2-x^3)$ になります。$y^2-x^3$ は $k[[x,y]]$ でも既約なので、これ以上ほどけない。

次はノードです。$B=k[x,y]/(y^2-x^2(x+1))$ をとります。原点で 2 本の枝が交わる形。

完備化すると様子が変わります。$x+1$ は定数項が $1$ なので、$k[[x]]$ の中で平方根を持つ。

$$y^2-x^2(x+1)=\left(y-x\sqrt{x+1}\right)\left(y+x\sqrt{x+1}\right)$$

だから $\hat{B}\cong k[[u,v]]/(uv)$ です。整域だったものが、完備化すると 2 つの成分に割れました。

見た目の通りの結果です。カスプは 1 本の曲線が折り返しているだけ、ノードは 2 本が交差している。

完備化は、その交差の様子を局所的に写しとります。大域的に既約であっても、局所では割れる。

例：p 進整数環

$\mathbb{Z}$ を素数 $p$ で局所化して完備化すると ${\mathbb{Z}}_p$ になります。次元 $1$ の完備正則局所環です。

体を含まないので、冪級数環にはなりません。混標数の代表例で、Cohen 環そのもの。

${\mathbb{Z}}_p[[x_1,\dots ,x_n]]$ の商として、体を含まない完備ネーター局所環がすべて書けます^[5]。

何が言えるようになるか

完備正則局所環が具体的に書けると、冪級数環で確かめた性質をそのまま持ち帰れます。

$k[[x_1,\dots ,x_d]]$ が一意分解整域であることは、Weierstrass の準備定理から示せます^[4]。完備正則局所環はすべて一意分解整域だと分かる。

正則性や次元は完備化で保たれるので、もとの環へ戻せます。局所的な主張なら、完備化して冪級数環で計算する道が使えます。

特異点の分類では、この定理が土台になります。2 つの特異点が局所的に同じ形かどうかを、完備局所環の同型で言い表せるためです。

完備化で失われるもの

情報が増えるわけではありません。完備化は忠実平坦なので落ちる情報はありませんが、性質の一部は変わります。

さきほどのノードが例です。整域が整域でなくなりました。既約性は完備化で保たれない。

逆に保たれるものもあります。次元、正則性、Cohen-Macaulay 性、深さ。局所的な性質の多くは完備化を通ります。

正規性や被約性は、条件を付ければ保たれます。優秀環の枠組みが必要になる部分です。

次元と剰余体だけで形が決まる。完備という条件を足すと、局所環はここまで単純になります。

参考