像は開でも閉でもない - Chevalley の定理と構成可能集合

多項式で書ける写像でも、像が開集合になるとはかぎりません。閉集合にもならない。

それでも像は野放図ではありません。開集合と閉集合を有限回組み合わせた形、つまり構成可能集合に必ず収まります^[4]。これが Chevalley の定理です。

例：双曲線を影にする

$x y = 1$ で決まる曲線を、 $x$ 軸へ落とします。 $(x, y) \mapsto x$ という写像です。

曲線の上では $x \neq = 0$ が必ず成り立ちます。逆に $x \neq = 0$ ならば $y = 1/ x$ がとれる。

像はちょうど ${x \neq = 0}$ です。開集合ですが閉集合ではありません。曲線自体は閉集合なのに、影が閉じていない。

例：開でも閉でもない像

もう少し性質の悪い例を見ます。平面から平面への写像 $(x, y) \mapsto (x, x y)$ をとる。

$x \neq = 0$ なら、行き先の $2$ 番目の成分は何にでもなります。 $y$ を選べばよい。

$x = 0$ のときは $(0, 0)$ しか出ません。 $x y = 0$ に固定されるためです。

$像 = {x \neq = 0} \cup {(0, 0)}$

開集合に $1$ 点だけくっついた形です^[4]。開でも閉でもない。

局所閉集合と構成可能集合

こういう形をまとめて扱う言葉を用意します。開集合と閉集合の共通部分を局所閉集合と呼ぶ。

局所閉集合を有限個だけ足し合わせたものが構成可能集合です^[3]。ネーター空間ではこの定義でうまくいきます。

$E = i = 1 ⋃ n (U_{i} \cap Z_{i})$

$U_{i}$ は開集合、 $Z_{i}$ は閉集合。有限個という条件が効いています。

構成可能集合の全体は、有限個の和・共通部分・補集合で閉じています。

開集合と閉集合から作れる、いちばん小さいブール代数。

さきほどの ${x \neq = 0} \cup {(0, 0)}$ を見ると、開集合 $1$ 個と閉集合 $1$ 個の和になっています。構成可能集合の形にきちんと収まる。

定理の主張

スキームの言葉で書くと次のようになります^[1]。

射 $f : X \to Y$ が擬コンパクトで局所有限表示なら、局所構成可能な部分集合の像はまた局所構成可能になる。

環の言葉ではもっと素朴です^[2]。 $R \to S$ が有限表示のとき、 $Spec S$ の構成可能集合の像は $Spec R$ で構成可能になります。

ネーター環の上なら、有限表示は有限生成と同じ。多項式環の商として書ける代数なら、いつでも当てはまります^[3]。

開・閉のままでは閉じない

開集合の像が開とはかぎらず、閉集合の像が閉ともかぎらない

構成可能なら閉じる

構成可能集合の像は構成可能。像をとる操作で外へ出ない

証明の骨格

証明は多項式環 1 段ぶんに帰着します^[2]。 $R \to S$ を $R \to R [x] \to \dots$ と分けて、 $Spec R [x] \to Spec R$ の場合だけ見ればよい。

構成可能集合は $D (f) \cap V (g_{1}, \dots, g_{m})$ の有限和に分けられます。だから 1 つの形だけ扱えば足ります。

ここで係数を見ます。 $g_{1}$ の先頭係数を $c$ とすると、 $Spec R$ が $D (c)$ と $V (c)$ に分かれる。

$D (c)$ の上では $c$ が可逆になり、割り算が使えます。 $V (c)$ の上では $g_{1}$ の次数が下がる。

どちらの側でも状況が単純になるので、次数についての帰納法が回ります。有限回で終わる理由がここにある。

量化子を消す操作として読む

論理の言葉に直すと、この定理は量化子の消去になります。

像に入るという条件は「ある $y$ が存在して $\dots$ 」という形です。存在量化子が付いている。

構成可能集合であるということは、その条件が量化子なしの等式と不等式で書き直せる、ということ。存在を消して具体的な条件に落とせます。

存在量化子つきの条件から始める

係数で場合分けする

次数を下げる

等式と不等式だけの条件に書き直す

終結式を使った消去理論と、根は同じ問題を扱っています。

像が開や閉になる条件

構成可能というのは、開でも閉でもないかもしれない、という弱い結論です。条件を足せば強くなります。

固有射なら像は閉集合になる。射影空間へ埋め込んだときの射影が代表例です。

平坦かつ局所有限表示の射なら、像は開集合になります。平坦性が像の潰れを防いでいます。

固有射

像は閉集合。無限遠まで含めた形にすると影が閉じる

平坦かつ局所有限表示

像は開集合。ファイバーの次元が急に落ちることがない

さきほどの $(x, y) \mapsto (x, x y)$ は、どちらでもありません。 $x = 0$ の上でファイバーが $1$ 点に潰れています。

ネーター空間での言いかえ

構成可能かどうかは、既約閉集合との交わりで判定できます^[3]。

任意の既約閉集合 $F$ について、 $E \cap F$ が $F$ で稠密なら、 $E \cap F$ が $F$ の空でない開集合を含む。この条件が構成可能性と同値になります。

稠密なら中身がぎっしり詰まっていて、開集合をつかめる。すかすかに散らばった集合は構成可能になりません。

開集合は構成可能である。

閉集合は構成可能である。

局所閉集合は構成可能である。

構成可能集合の有限和、有限共通部分、補集合は構成可能である。

有限表示の射による構成可能集合の像は構成可能である。

無限個の点の集まりは、一般には構成可能にならない。

平面の写像 $(x, y) \mapsto (x, x y)$ の像はどれですか。

平面全体
${x \neq = 0}$ と原点の和
${x \neq = 0}$

__RESULT__

$x \neq = 0$ なら $y$ を選んで第 $2$ 成分を自由に作れます。 $x = 0$ では $x y = 0$ に固定されるので、原点だけが像に入ります。

像は開でも閉でもない。それでも、開と閉から有限回で作れる範囲には必ず収まります。

参考文献

The Stacks project, *Tag 054H*

The Stacks project, *Tag 00FE*

*Extending Chevalley's Theorem: A Topological Characterization of Constructibility*

Constructible set (topology) - Wikipedia)

$xy = 1$ の曲線を $x$ 軸へ落とすと $x \neq 0$ になり、閉集合の像が閉でなくなります。$(x,y) \mapsto (x, xy)$ なら像は開集合に原点 1 点がくっついた形。開でも閉でもない集合が出てきます。それでも像は必ず構成可能集合、つまり局所閉集合の有限和に収まる。$D(f) \cap V(g)$ に分けて先頭係数で場合分けし、次数の帰納法で回す証明の骨格、量化子消去としての読み方、固有射なら閉・平坦なら開になる条件まで。