割り算の筆算が使える整域（ユークリッド整域から整閉整域まで）

整数と 1 変数多項式には、割り算の筆算があります。余りが「小さくなる」ことを保証する量があるためです。

その量を公理として抜き出したものがユークリッド整域^[2]。ここから始めて、条件をゆるめていくと整域の階層ができます。

ユークリッド整域

整域 $R$ に関数 $f:R\setminus \{0\}\to \mathbb{N}$ があり、次を満たすとします^[2]。

$a,b\in R$、$b\ne 0$ に対し、$a=qb+r$ となる $q,r$ がとれて、$r=0$ または $f(r)<f(b)$。

これがユークリッド関数です。余りが $0$ になるか、測った値が真に小さくなる。

値が小さくなる、という条件だけで互除法が回ります。有限回で止まる保証がここから出る。

ユークリッド整域は単項イデアル整域になる

証明は短い。イデアル $I\ne 0$ をとり、$I$ の $0$ でない元のうち $f$ の値が最小のものを $b$ とします。

$a\in I$ に対して $a=qb+r$ と書くと、$r=a-qb$ も $I$ に入ります。$r\ne 0$ なら $f(r)<f(b)$ となり、最小性に反する。

だから $r=0$ で、$a$ は $b$ の倍数。$I=(b)$ です^[1]。

単項イデアル整域は一意分解整域です^[3]。整数の素因数分解と同じ形の分解が成り立つ。

階層

条件をゆるめる向きに並べると、体、ユークリッド整域、PID、UFD、整閉整域、整域という順に広がります^[4]。

どの包含も真です。それぞれの隙間に、きちんと例があります。

PID だがユークリッドでない

いちばん有名な隙間がここです。$\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right]$ が単項イデアル整域でありながら、どんなユークリッド関数も持ちません^[1]。

Motzkin が 1949 年に判定条件を作り、それを使って示しました。普遍側因子という元が存在しないことを見る議論です。

虚二次体で見ると線引きがはっきりします^[1]。$\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ の整数環がユークリッドになるのは $d=1,2,3,7,11$ の 5 つだけ。

一方で単項イデアル整域になるのは $d=1,2,3,7,11,19,43,67,163$ の 9 つです。差の 4 つが、この隙間を埋めています。

単項性だけを問うなら、ユークリッド関数より弱い条件で足ります。Dedekind-Hasse ノルムを持つことと PID であることが同値になります^[1]。

UFD だが PID でない

$\mathbb{Z}[x]$ が例です^[3]。一意分解は成り立ちますが、イデアル $(2,x)$ は単項ではありません。

$2$ と $x$ の公約数は単元しかないので、単項なら $(1)$ になるはず。ところが $(2,x)$ は定数項が偶数の多項式全体で、$1$ を含みません。

多変数でも同じです。$k[x,y]$ で $(x,y)$ が単項になりません。

一意分解と単項性は別の条件です。次元が $2$ 以上の環では、必ず単項でないイデアルが出ます。

整閉だが UFD でない

$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ をとります。$6$ の分解が 2 通りに書けます。

$$6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$$

$2$、$3$、$1\pm \sqrt{-5}$ はどれも既約で、たがいに同伴ではありません。一意分解は崩れています。

それでもこの環は整閉です。$\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ の整数環そのものだからです。

イデアルまで上がると分解は一意に戻ります。デデキント整域だからです。元の分解が崩れているだけ。

整閉でない整域

$k[t^2,t^3]$ を見ます。$t$ は分数体に入っていて、$X^2-t^2$ の根です^[4]。係数は環の中にある。

ところが $t$ 自身は環に入りません。整な元が外にいるので、整閉ではない。

幾何ではカスプにあたります。尖った特異点を持つ曲線の座標環です。

$\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ も整閉ではありません。$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ が $X^2-X-1$ の根で、環の外にあります^[4]。

上へ行くほど何が言えるか

条件が強いほど、使える道具が増えます。

いちばん上のユークリッド整域だけが、計算の手順まで与えます。ほかは存在を保証するだけ。

$\mathbb{Z}$ で最大公約数を求めるとき、互除法があるから具体的に計算できます。PID であることだけ知っていても、公約元がどれかは分かりません。

GCD 整域という段

UFD と整閉のあいだに、もう 1 段あります^[4]。任意の 2 元が最大公約元を持つ整域です。

UFD なら分解から公約元が作れるので、GCD 整域になります。逆は成り立ちません。

ネーター環に限ると、GCD 整域と UFD が一致します。だから隙間の例は、ネーターでない環から探すことになる。

小さくなる量があるか、イデアルが 1 元で書けるか、分解が一意か、整な元が外へ出ないか。4 つの問いの答えが、そのまま階層の段になっています。

参考