曲線 y = \dfrac{1}{2}(x^2 + 1) 上の点 \mathrm{P} における接線は x 軸と交わるとし，その交点を \mathrm{Q} とおく。線分 \mathrm{PQ} の長さを L とするとき，L が取りうる値の最小値を求めよ。
y = \dfrac{1}{2}(x^2 + 1) を微分すると y' = x だから、\mathrm{P}\left(t, \dfrac{t^2 + 1}{2}\right) における接線の傾きは t です。接線の式は次のようになる。
y = t(x - t) + \dfrac{t^2 + 1}{2}
t = 0 のときの接線は y = \dfrac{1}{2} で、x 軸と交わりません。t \neq 0 として y = 0 を代入し、x について解きます。
x = t - \dfrac{t^2 + 1}{2t} = \dfrac{t^2 - 1}{2t}
これが \mathrm{Q} の x 座標。t = 1 なら \mathrm{Q} は原点で、\mathrm{P}(1, 1) における接線 y = x は確かに原点を通ります。
\mathrm{P} と \mathrm{Q} の x 座標の差は t - \dfrac{t^2 - 1}{2t} = \dfrac{t^2 + 1}{2t} で、\mathrm{Q} は x 軸上にあるから y 座標の差は \dfrac{t^2 + 1}{2} です。
三平方の定理で L^2 を書き、共通の \dfrac{(t^2 + 1)^2}{4} でくくる。
L^2 = \dfrac{(t^2 + 1)^2}{4}\left(\dfrac{1}{t^2} + 1\right) = \dfrac{(t^2 + 1)^3}{4t^2}
L^2 は t^2 だけで決まります。s = t^2 とおき、s > 0 の範囲で f(s) = \dfrac{(s + 1)^3}{4s} の最小値を調べる。
商の微分で f'(s) を求め、分子を (s + 1)^2 でくくります。
f'(s) = \dfrac{3(s + 1)^2 s - (s + 1)^3}{4s^2}
f'(s) = \dfrac{(s + 1)^2(2s - 1)}{4s^2}
f'(s) の符号は 2s - 1 と同じで、s = \dfrac{1}{2} の前後で負から正に変わる。f(s) は s = \dfrac{1}{2} で最小になり、その値は次のとおりです。
f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\right)^3 = \dfrac{27}{16}
L > 0 だから、L の最小値は \sqrt{\dfrac{27}{16}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}。このとき t = \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}} で、\mathrm{P} は \left(\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{3}{4}\right) です。