京都大学理系 2021 年・第 4 問

求める長さを \ell とすると、\ell = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 + (y')^2}\,dx です。y' = -\dfrac{\sin x}{1 + \cos x} を使い、根号の中を 1 つの分数にまとめる。

1 + (y')^2 = \dfrac{(1 + \cos x)^2 + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2}

分子を展開すると 1 + 2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x で、\cos^2 x + \sin^2 x = 1 から 2(1 + \cos x) になります。分母の 1 + \cos x と 1 つ約分できる。

1 + (y')^2 = \dfrac{2}{1 + \cos x}

半角の公式 1 + \cos x = 2\cos^2\dfrac{x}{2} から、\dfrac{2}{1 + \cos x} = \dfrac{1}{\cos^2\dfrac{x}{2}} になります。0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} では \cos\dfrac{x}{2} > 0 だから、根号はそのまま外れる。

\sqrt{1 + (y')^2} = \dfrac{1}{\cos\dfrac{x}{2}}

u = \dfrac{x}{2} とおくと dx = 2\,du で、x が 0 から \dfrac{\pi}{2} まで動くとき u は 0 から \dfrac{\pi}{4} まで動きます。

\ell = 2\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{du}{\cos u}

分母と分子に \cos u をかけると \dfrac{\cos u}{1 - \sin^2 u}。w = \sin u とおけば dw = \cos u\,du で、w は 0 から \dfrac{\sqrt{2}}{2} まで動きます。

\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{du}{\cos u} = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \dfrac{dw}{1 - w^2}

\dfrac{1}{1 - w^2} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1 + w} + \dfrac{1}{1 - w}\right) と分けると、原始関数は \dfrac{1}{2}\log\dfrac{1 + w}{1 - w} です。w = 0 での値は 0 だから、積分の値は w = \dfrac{\sqrt{2}}{2} での値に等しい。

\dfrac{1}{2}\log\dfrac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}

分母を有理化すると \dfrac{(2 + \sqrt{2})^2}{2} = 3 + 2\sqrt{2} で、3 + 2\sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^2 と書けます。積分の値は \dfrac{1}{2}\log(1 + \sqrt{2})^2 = \log(1 + \sqrt{2})。

\ell はその 2 倍で、求める長さは 2\log(1 + \sqrt{2}) です。