5.4 < \log_4 2022 < 5.5 であることを示せ。ただし，0.301 < \log_{10} 2 < 0.3011 であることは用いてよい。
\log_4 2022 は、4 を何乗すると 2022 になるかを表す数です。グラフで言えば、曲線 y = 4^x と直線 y = 2022 の交点の x 座標にあたる。
4^x は x が大きいほど大きくなります。だから 4^{5.4} < 2022 < 4^{5.5} を示せば、交点は x = 5.4 と x = 5.5 のあいだにあり、5.4 < \log_4 2022 < 5.5 が言えます。
4^{5.5} = (2^2)^{5.5} = 2^{11} = 2048 です。2022 < 2048 だから 2022 < 4^{5.5} となり、\log_4 2022 < 5.5 を得る。
上からの評価は 2 の累乗との比較だけで済み、\log_{10} 2 の値は使いません。2048 と 2022 の差は 26 で、\log_4 2022 は 5.5 のすぐ下にあります。
4^{5.4} = 2^{10.8} は指数が整数でないため、常用対数で大きさを見積もります。2022 と直接比べる代わりに、少し小さく、常用対数を \log_{10} 2 で書ける 2000 と比べる。
\log_{10} 4^{5.4} = 10.8 \log_{10} 2、\log_{10} 2000 = 3 + \log_{10} 2 だから、2 つの差は次のようになります。
\log_{10} 2000 - \log_{10} 4^{5.4} = 3 - 9.8 \log_{10} 2
\log_{10} 2 < 0.3011 より 9.8 \log_{10} 2 < 2.95078 で、この差は正です。4^{5.4} < 2000 < 2022 となり、5.4 < \log_4 2022 が成り立つ。
あわせて 5.4 < \log_4 2022 < 5.5 です。与えられた 0.301 < \log_{10} 2 の側は、どちらの評価にも使っていません。