1 辺の長さが 1 の正五角形を K とする。このとき，以下の問いに答えよ。
(1) K の対角線の長さを求めよ。
(2) K の周で囲まれた図形を P とする。また，P を K の外接円の中心の周りに角 \theta だけ回転して得られる図形を P_\theta とする。P と P_\theta の共通部分の周の長さを l_\theta とする。\theta が 0^\circ < \theta < 72^\circ の範囲を動くとき，l_\theta の最小値が 2\sqrt{5} であることを示せ。
K の頂点を順に \mathrm{A}、\mathrm{B}、\mathrm{C}、\mathrm{D}、\mathrm{E} とし、対角線の長さを d とおく。内角は 108^\circ で、\triangle\mathrm{ABC} は底角 36^\circ の二等辺三角形です。
対角線 \mathrm{AC} と \mathrm{BD} の交点を \mathrm{F} とすると、\angle\mathrm{FBC} = \angle\mathrm{FCB} = 36^\circ。\triangle\mathrm{FBC} も底角 36^\circ の二等辺三角形で、\triangle\mathrm{BAC} と相似になる。
対応する辺の比 \mathrm{FC} : \mathrm{BC} = \mathrm{BC} : \mathrm{AC} から \mathrm{FC} = \dfrac{1}{d} です。
一方、\angle\mathrm{ABF} = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ と \angle\mathrm{AFB} = 180^\circ - 36^\circ - 72^\circ = 72^\circ は等しいため、\mathrm{AF} = \mathrm{AB} = 1 で、\mathrm{FC} = d - 1 とも書ける。
d - 1 = \dfrac{1}{d} を整理すると d^2 - d - 1 = 0 で、d > 0 だから対角線の長さは次の値です。
d = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}
K の内接円の半径を r とする。中心のまわりに回しても内接円は動かないため、P_\theta の 5 本の辺も同じ円に接しています。
円と接線の共有点は接点だけで、円は接線の片側にある。そのため、10 本の辺のどの接点も、ほかの 9 本の辺に対して円と同じ側にあります。
どの接点も P と P_\theta の両方に含まれ、共通部分の周の上にある。共通部分は、10 本の辺がすべて同じ円に接する十角形になります。
十角形の頂点 \mathrm{V} をはさむ 2 辺の接点を \mathrm{T}、\mathrm{T}'、円の中心を \mathrm{O} とし、\angle\mathrm{TOT}' = \varphi とおく。\triangle\mathrm{OVT} と \triangle\mathrm{OVT}' は合同な直角三角形です。
したがって \angle\mathrm{TOV} = \dfrac{\varphi}{2} で、\mathrm{VT} = \mathrm{VT}' = r\tan\dfrac{\varphi}{2} になる。周の長さは、10 個の頂点について 2r\tan\dfrac{\varphi}{2} を足したものです。
P の辺の接点は 72^\circ ごとに並び、P_\theta の接点はそれを \theta だけ回した位置にあるため、隣り合う接点の中心角は \theta と 72^\circ - \theta が 5 回ずつ交互に現れる。
l_\theta = 10r\left(\tan\dfrac{\theta}{2} + \tan\dfrac{72^\circ - \theta}{2}\right)
r は、K の 1 辺を底辺とし中心 \mathrm{O} を頂点とする二等辺三角形の高さだから、r = \dfrac{1}{2\tan 36^\circ} です。
\alpha = \dfrac{\theta}{2}、\beta = 36^\circ - \dfrac{\theta}{2} とおくと \alpha + \beta = 36^\circ。\tan を \dfrac{\sin}{\cos} に直して通分すると、分子は加法定理で \sin 36^\circ にまとまります。
\tan\alpha + \tan\beta = \dfrac{\sin 36^\circ}{\cos\alpha\cos\beta}
分母は積和の公式で \dfrac{1}{2}\{\cos 36^\circ + \cos(\theta - 36^\circ)\} に直せる。r = \dfrac{\cos 36^\circ}{2\sin 36^\circ} と合わせると、\sin 36^\circ が約分されて次の式になります。
l_\theta = \dfrac{10\cos 36^\circ}{\cos 36^\circ + \cos(\theta - 36^\circ)}
0^\circ < \theta < 72^\circ では -36^\circ < \theta - 36^\circ < 36^\circ で、分母は \theta = 36^\circ のときにいちばん大きい。このとき l_\theta は最小になります。
(1) の \triangle\mathrm{ABC} で \mathrm{B} から \mathrm{AC} に垂線を下ろすと \cos 36^\circ = \dfrac{d}{2} = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{4} で、これを \theta = 36^\circ での値に代入する。
\dfrac{10\cos 36^\circ}{\cos 36^\circ + 1} = \dfrac{10(1 + \sqrt{5})}{5 + \sqrt{5}}
5 + \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{5} + 1) で約分でき、最小値は \dfrac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} です。\theta = 36^\circ のとき、共通部分は正十角形になっている。