a を実数とし，関数 f(x) を次のように定める。
f(x) = x^4 + \dfrac{4a}{3}x^3 + (a + 2)x^2
このとき，以下の問いに答えよ。
(1) 関数 f(x) が極大値をもつような a のとり得る値の範囲を求めよ。
(2) 関数 f(x) が x = 0 で極大値をもつような a のとり得る値の範囲を求めよ。
f(x) を微分すると f'(x) = 4x^3 + 4ax^2 + 2(a + 2)x です。どの項も x を含み、係数はすべて偶数だから 2x でくくれる。
f'(x) = 2x(2x^2 + 2ax + a + 2)
かっこの中を g(x) とおきます。f'(x) の符号は x の符号と g(x) の符号の積で決まり、f'(x) の符号が正から負へ変わる点で f(x) は極大になる。
f'(x) は x^3 の係数が正の 3 次式です。f'(x) = 0 が異なる 3 つの実数解 \alpha < \beta < \gamma をもつなら、f'(x) の符号は左から負、正、負、正と変わり、x = \beta で極大になる。
そうでない場合、極大値はありません。g(x) = 0 が実数解をもたないか重解をもつときは g(x) \geqq 0 で、f'(x) は x = 0 の前後で負から正に変わるだけ。
g(0) = 0 となる a = -2 では f'(x) = 4x^2(x - 2) です。符号が変わるのは x = 2 の前後だけで、x = 0 の前後では変わらない。
したがって条件は、g(x) = 0 の判別式 D について D > 0、かつ g(0) \neq 0 となること。次の 2 つを満たす a の範囲を求める。
\dfrac{D}{4} = a^2 - 2(a + 2) > 0
g(0) = a + 2 \neq 0
a^2 - 2a - 4 = 0 の解は 1 \pm \sqrt{5} だから、D > 0 は a < 1 - \sqrt{5} または 1 + \sqrt{5} < a です。\sqrt{5} < 3 より -2 < 1 - \sqrt{5} で、a = -2 はこの範囲に含まれるため除く。
(1) の答えは a < -2、-2 < a < 1 - \sqrt{5}、1 + \sqrt{5} < a です。
g(0) \neq 0 なら、0 に近い x での g(x) の符号は g(0) の符号と同じです。f'(x) = 2x \cdot g(x) のうち、x = 0 の前後で符号を変えるのは 2x だけ。
だから g(0) < 0 なら f'(x) は正から負に変わり、x = 0 で極大になります。g(0) > 0 なら負から正で極小、g(0) = 0 の a = -2 では極値にならない。
g(0) = a + 2 < 0 を解いて、(2) の範囲は a < -2。(1) の範囲にも含まれている。