正の実数 t に対し，座標平面上の 2 点 \mathrm{P}(0,\ t) と \mathrm{Q}\left(\dfrac{1}{t},\ 0\right) を考える。t が 1 \leqq t \leqq 2 の範囲を動くとき，座標平面内で線分 \mathrm{PQ} が通過する部分を図示せよ。
\mathrm{P} から \mathrm{Q} へ進むと x は \dfrac{1}{t} 増え、y は t 減るため、直線 \mathrm{PQ} の傾きは -t^2 です。y 切片は t だから、線分 \mathrm{PQ} は次の式で表せる。
y = t - t^2x \quad \left(0 \leqq x \leqq \dfrac{1}{t}\right)
t が 1 から 2 へ増えると、\mathrm{P} は (0,\ 1) から (0,\ 2) へ上がり、\mathrm{Q} は (1,\ 0) から \left(\dfrac{1}{2},\ 0\right) へ動きます。傾きは -1 から -4 まで急になっていく。
x の値を 1 つ決め、縦の直線の上で線分の通る y の範囲を調べます。線分がこの直線と交わるのは x \leqq \dfrac{1}{t} のときで、交点の y 座標は t - t^2x。
x = 0 では交点は \mathrm{P} そのもので、y = t は 1 から 2 まで動く。x > 1 では \dfrac{1}{t} \leqq 1 < x となり、どの線分もその直線に届きません。
0 < x \leqq 1 では、交点の y 座標を t の関数とみて g(t) = t - t^2x とおく。t の動ける範囲は 1 \leqq t \leqq 2 かつ t \leqq \dfrac{1}{x} で、g(t) は上に凸な放物線です。
g(t) = -x\left(t - \dfrac{1}{2x}\right)^2 + \dfrac{1}{4x}
頂点 t = \dfrac{1}{2x} と、範囲の端 1、2、\dfrac{1}{x} の大小で場合が分かれます。図は x = \dfrac{1}{5} の縦の直線で、交点の上下する範囲が、この直線の上で線分の通る部分にあたる。
\dfrac{1}{x} \geqq 2 だから、t は 1 \leqq t \leqq 2 全体を動けます。y の範囲は頂点 t = \dfrac{1}{2x} の位置で変わる。
x \leqq \dfrac{1}{4} では頂点は t = 2 以上にあり、g(t) は 1 \leqq t \leqq 2 で増加します。y は g(1) = 1 - x から g(2) = 2 - 4x まで動く。
\dfrac{1}{4} \leqq x \leqq \dfrac{1}{2} では頂点が範囲の中にあり、最大値は頂点の値 \dfrac{1}{4x}。最小値は両端の 1 - x と 2 - 4x の小さいほうで、1 - x \leqq 2 - 4x となるのは x \leqq \dfrac{1}{3} のときです。
図は t を横軸にとった g(t) のグラフで、x = \dfrac{1}{5}、\dfrac{2}{7}、\dfrac{2}{5} の 3 つを順に描いた。太い部分は 1 \leqq t \leqq 2 で、左の縦線はそのときの y の範囲です。
\dfrac{1}{x} \leqq 2 となり、t の範囲は 1 \leqq t \leqq \dfrac{1}{x} に狭まります。頂点 \dfrac{1}{2x} は 1 以下にあるため、この範囲で g(t) は減少する。
y は g\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0 から g(1) = 1 - x まで動きます。t = \dfrac{1}{x} は、点 \mathrm{Q} が (x,\ 0) に重なるときの t です。
図は x = \dfrac{3}{5} と \dfrac{4}{5} のグラフで、t は \dfrac{1}{x} までしか動けない。
ここまでをまとめると、線分 \mathrm{PQ} の通過する部分は次の不等式で表されます。境界線も含む。
\begin{aligned} 1 - x \leqq y \leqq 2 - 4x &\quad \left(0 \leqq x \leqq \dfrac{1}{4}\right) \\ 1 - x \leqq y \leqq \dfrac{1}{4x} &\quad \left(\dfrac{1}{4} \leqq x \leqq \dfrac{1}{3}\right) \\ 2 - 4x \leqq y \leqq \dfrac{1}{4x} &\quad \left(\dfrac{1}{3} \leqq x \leqq \dfrac{1}{2}\right) \\ 0 \leqq y \leqq 1 - x &\quad \left(\dfrac{1}{2} \leqq x \leqq 1\right) \end{aligned}
y = 1 - x は t = 1、y = 2 - 4x は t = 2 の線分を含む直線で、2 本は点 \left(\dfrac{1}{3},\ \dfrac{2}{3}\right) で交わります。曲線 y = \dfrac{1}{4x} は、x = \dfrac{1}{4} から \dfrac{1}{2} までが上側の境界になる。
線分 \mathrm{PQ} の中点 \left(\dfrac{1}{2t},\ \dfrac{t}{2}\right) は、この曲線の上にあります。x = \dfrac{1}{2t} での曲線の傾き -\dfrac{1}{4x^2} は -t^2 に等しく、曲線は中点で線分に接している。
図の部分は x = \dfrac{1}{3} のあたりで細くなり、そこでの縦の幅は \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{12} です。