正八角形 \mathrm{A}_1\mathrm{A}_2\cdots\mathrm{A}_8 について，以下の問いに答えよ。
(1) 3 個の頂点を結んでできる三角形のうち，直角三角形であるものの個数を求めよ。
(2) 3 個の頂点を結んでできる三角形のうち，直角三角形でも二等辺三角形でもないものの個数を求めよ。
(3) 4 個の頂点を結んでできる四角形のうち，次の条件 (*) を満たすものの個数を求めよ。
(*) 四角形の 4 個の頂点から 3 点を選んで直角三角形を作れる。
正八角形の 8 個の頂点は 1 つの円の上にあります。直径に対する円周角は 90^\circ で、逆に 90^\circ の円周角に対する弦は直径だから、3 頂点でできる三角形が直角三角形になるのは 1 辺が直径のとき。
直径になる 2 頂点の組は \mathrm{A}_1\mathrm{A}_5、\mathrm{A}_2\mathrm{A}_6、\mathrm{A}_3\mathrm{A}_7、\mathrm{A}_4\mathrm{A}_8 の 4 つです。
直径を 1 つ決めると残りの頂点は 6 個あり、どれを選んでも直角三角形ができる。直角三角形の斜辺は 1 本だけで 2 回数えることはなく、個数は 4 \times 6 = 24 です。
二等辺三角形では、頂角の頂点以外の 2 頂点が、頂角の頂点と円の中心を結ぶ直線について対称な位置にあります。頂角の頂点が \mathrm{A}_1 なら、\mathrm{A}_2 と \mathrm{A}_8、\mathrm{A}_3 と \mathrm{A}_7、\mathrm{A}_4 と \mathrm{A}_6 の 3 通り。
頂角の頂点の選び方は 8 通りで、二等辺三角形は 8 \times 3 = 24 個できる。正三角形があると 3 回数えることになるが、8 は 3 の倍数ではないため正三角形はできません。
直角二等辺三角形は、直径の両端と、その直径から最も離れた頂点でできる三角形です。直径 \mathrm{A}_1\mathrm{A}_5 なら \mathrm{A}_3 か \mathrm{A}_7 で、直径ごとに 2 個あり、合わせて 8 個になる。
直角三角形か二等辺三角形であるものは 24 + 24 - 8 = 40 個。三角形は全部で _8\mathrm{C}_3 = 56 個あり、どちらでもないものは 56 - 40 = 16 個です。
3 頂点は円周を 3 つの弧に分けます。正八角形の隣り合う頂点のあいだの弧を 1 として、弧の長さを i、j、k で表すと i + j + k = 8。
三角形の角は向かい合う弧の長さに比例し、長さ 4 の弧に向かい合う角が 90^\circ になる。二等辺三角形は、長さの等しい弧を 2 つもちます。
どちらでもない三角形の弧は、互いに異なり 4 を含まない 3 つの数で、和が 8 になるのは 1、2、5 だけ。
1、2、5 を時計回りに並べる順は 2 通りで、それぞれ回して 8 通りの位置に置けるため、2 \times 8 = 16 個となり、(2) の答えと一致します。
直角三角形は直径の両端を頂点にもつため、条件 (*) を満たす四角形の 4 頂点には直径の両端の組が含まれます。逆に直径の両端を含めば、残りの 2 頂点のどちらと合わせても直角三角形ができる。
直径の両端の組は 4 つあり、8 頂点はこの組に 2 個ずつ分かれます。どの組からも 2 頂点を選ばずに 4 頂点を選ぶには、各組から 1 頂点ずつ選ぶことになり、選び方は 2^4 = 16 通り。
四角形は全部で _8\mathrm{C}_4 = 70 個あるため、条件 (*) を満たすものは 70 - 16 = 54 個です。