次の関数 f(x) の最大値と最小値を求めよ。
\begin{aligned} f(x) = {} & e^{-x^2} + \dfrac{1}{4}x^2 + 1 \\ & + \dfrac{1}{e^{-x^2} + \dfrac{1}{4}x^2 + 1} \\ & (-1 \leqq x \leqq 1) \end{aligned}
ただし，e は自然対数の底であり，その値は e = 2.71\cdots である。
f(x) の最初の 3 項の和と、最後の分数の分母は同じ式です。これを g(x) とおくと、f(x) は g(x) とその逆数の和になる。
g(x) = e^{-x^2} + \dfrac{1}{4}x^2 + 1
f(x) = g(x) + \dfrac{1}{g(x)}
まず g(x) のとりうる値の範囲を求め、そのあとで g(x) を s とおいた s + \dfrac{1}{s} の増減を調べます。
g(x) は x^2 だけで決まります。t = x^2 とおくと 0 \leqq t \leqq 1 で、h(t) = e^{-t} + \dfrac{1}{4}t + 1 の増減を調べればよい。
h'(t) = -e^{-t} + \dfrac{1}{4}
0 \leqq t \leqq 1 では e^{-t} \geqq \dfrac{1}{e} で、e = 2.71\cdots < 4 から \dfrac{1}{e} > \dfrac{1}{4} です。だから h'(t) < 0 となり、h(t) は減少する。
h(0) = 2、h(1) = \dfrac{1}{e} + \dfrac{5}{4} だから、g(x) のとりうる値の範囲は次のとおり。
\dfrac{1}{e} + \dfrac{5}{4} \leqq g(x) \leqq 2
図の y = e^{-t} と y = \dfrac{1}{4} は t = \log 4 で交わります。4 > e より \log 4 > 1 で、0 \leqq t \leqq 1 ではいつも e^{-t} のほうが上にある。
k(s) = s + \dfrac{1}{s} とおくと k'(s) = 1 - \dfrac{1}{s^2} で、s > 1 では k'(s) > 0 です。
g(x) のとりうる値はすべて \dfrac{1}{e} + \dfrac{5}{4} 以上で、1 より大きい。f(x) = k(g(x)) は、g(x) が大きいほど大きくなります。
g(x) が最大の 2 になるのは x = 0 のときで、最大値は f(0) = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2} です。
g(x) が最小になるのは x = \pm 1 のとき。g(\pm 1) = \dfrac{1}{e} + \dfrac{5}{4} = \dfrac{5e + 4}{4e} だから、最小値は次のようになる。
\begin{aligned} f(\pm 1) &= \dfrac{5e + 4}{4e} + \dfrac{4e}{5e + 4} \\ &= \dfrac{41e^2 + 40e + 16}{4e(5e + 4)} \end{aligned}