s を実数とし，数列 \{a_n\} を
a_1 = s，(n + 2)a_{n+1} = na_n + 2 (n = 1, 2, 3, \cdots)
で定める。以下の問いに答えよ。
(1) a_n を n と s を用いて表せ。
(2) ある正の整数 m に対して \displaystyle\sum_{n=1}^{m} a_n = 0 が成り立つとする。s を m を用いて表せ。
漸化式で a_n と a_{n+1} をどちらも 1 にすると、左辺も右辺も n + 2 になります。すべての項が 1 の数列は、この漸化式を満たす。
そこで b_n = a_n - 1 とおき、もとの漸化式から (n + 2) \cdot 1 = n \cdot 1 + 2 を辺ごとに引きます。
(n + 2)b_{n+1} = nb_n
定数の 2 は消え、b_n どうしの関係だけが残った。b_1 = a_1 - 1 = s - 1 です。
両辺に n + 1 をかけると、左辺と右辺が同じ形にそろいます。
(n + 1)(n + 2)b_{n+1} = n(n + 1)b_n
左辺は、右辺の n を n + 1 に変えた式。n(n + 1)b_n の値は n を 1 増やしても変わらず、n = 1 のときの 1 \cdot 2 \cdot b_1 = 2(s - 1) にいつも等しい。
b_n について解き、a_n = 1 + b_n に戻すと次の式になります。
a_n = 1 + \dfrac{2(s - 1)}{n(n + 1)}
n = 2 を代入すると \dfrac{s + 2}{3} で、漸化式で n = 1 とした 3a_2 = s + 2 と合います。
a_n の和は、1 を m 個足した m と、\dfrac{2(s - 1)}{n(n + 1)} の和に分かれる。
\dfrac{1}{n(n + 1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1} と分けると、和の途中の項は打ち消し合い、最初の 1 と最後の -\dfrac{1}{m + 1} だけが残る。
\displaystyle\sum_{n=1}^{m} \dfrac{1}{n(n + 1)} = 1 - \dfrac{1}{m + 1} = \dfrac{m}{m + 1}
したがって和は次の式です。
\displaystyle\sum_{n=1}^{m} a_n = m + \dfrac{2(s - 1)m}{m + 1}
和が 0 のとき、m > 0 で割ると 1 + \dfrac{2(s - 1)}{m + 1} = 0 です。
両辺に m + 1 をかけて整理すると 2(s - 1) = -(m + 1) となり、s について解けます。
s = \dfrac{1 - m}{2}
m = 2 なら s = -\dfrac{1}{2} で、a_1 = -\dfrac{1}{2}、a_2 = \dfrac{1}{2} の和はたしかに 0 になる。