S を xyz 空間内の原点 \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0) を中心とする半径 1 の球面とする。また，点 \mathrm{P}(a,\ b,\ c) を点 \mathrm{N}(0,\ 0,\ 1) とは異なる球面 S 上の点とする。点 \mathrm{P} と点 \mathrm{N} を通る直線 l と xy 平面との交点を \mathrm{Q} とおく。このとき，以下の問いに答えよ。
(1) 点 \mathrm{Q} の座標を a,\ b,\ c を用いて表せ。
(2) xy 平面上の点 (p,\ q,\ 0) と点 \mathrm{N} を通る直線を m とする。直線 m と球面 S の交点のうち，点 \mathrm{N} 以外の交点の座標を p,\ q を用いて表せ。
(3) 点 \left(0,\ 0,\ \dfrac{1}{2}\right) を通り，ベクトル (3,\ 4,\ 5) に直交する平面 \alpha を考える。点 \mathrm{P} が平面 \alpha と球面 S との交わりを動くとき，点 \mathrm{Q} は xy 平面上の円周上を動くことを示せ。
直線 l 上の点は、実数 s を使って \vec{\mathrm{ON}} + s\vec{\mathrm{NP}} と表せます。成分で書くと次のとおり。
(sa,\ sb,\ 1 + s(c - 1))
球面上では c \leqq 1 で、c = 1 となる点は \mathrm{N} だけだから、\mathrm{P} では c < 1 です。z 成分を 0 とおくと s = \dfrac{1}{1 - c} で、\mathrm{Q} の座標は次のようになる。
\mathrm{Q}\left(\dfrac{a}{1 - c},\ \dfrac{b}{1 - c},\ 0\right)
直線 m 上の点は (sp,\ sq,\ 1 - s) と表せる。球面の式 x^2 + y^2 + z^2 = 1 に代入して整理すると、次の 2 次方程式になります。
s\{(p^2 + q^2 + 1)s - 2\} = 0
s = 0 は点 \mathrm{N} にあたり、もう 1 つの解 s = \dfrac{2}{p^2 + q^2 + 1} が求める交点を与える。
交点の x 座標は \dfrac{2p}{p^2 + q^2 + 1}、y 座標は \dfrac{2q}{p^2 + q^2 + 1}、z 座標は \dfrac{p^2 + q^2 - 1}{p^2 + q^2 + 1} です。
平面 \alpha は点 \left(0,\ 0,\ \dfrac{1}{2}\right) を通り (3,\ 4,\ 5) に垂直だから、式は 3x + 4y + 5z = \dfrac{5}{2} です。\mathrm{N} を代入すると左辺は 5 になり、\mathrm{N} は \alpha 上にない。
だから \alpha と S の交わりの点 \mathrm{P} はどれも \mathrm{N} と異なり、\mathrm{Q} が決まります。\mathrm{Q} を (p,\ q,\ 0) とおくと、\mathrm{P} は直線 \mathrm{NQ} と球面の \mathrm{N} 以外の交点で、(2) の座標で表せる。
p^2 + q^2 + 1 = u とおくと、(2) の座標は \dfrac{2p}{u}、\dfrac{2q}{u}、\dfrac{u - 2}{u} と書けます。\alpha の式に代入し、両辺に 2u をかける。
12p + 16q + 10(u - 2) = 5u
整理すると 5u + 12p + 16q - 20 = 0 で、u をもとに戻すと 5(p^2 + q^2) + 12p + 16q - 15 = 0。5 で割って平方完成する。
\left(p + \dfrac{6}{5}\right)^2 + \left(q + \dfrac{8}{5}\right)^2 = 7
点 \mathrm{Q} は xy 平面上の、中心 \left(-\dfrac{6}{5},\ -\dfrac{8}{5},\ 0\right)、半径 \sqrt{7} の円周上を動く。