a > 1 とする。xy 平面において，点 (a,\ 0) を中心とする半径 1 の円を C とする。
(1) 円 C の x \geqq a の部分と y 軸および 2 直線 y = 1，y = -1 で囲まれた図形を y 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積 V_1 を求めよ。
(2) 円 C で囲まれた図形を y 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を V_2 とする。(1) における V_1 について，V_1 = 2V_2 となる a の値を求めよ。
回転体を高さ y の平面で切ると、断面は y 軸上に中心をもつ円になる。半径は、もとの図形をその高さで横に切った線分の右端の x 座標です。
C の x \geqq a の部分は x = a + \sqrt{1 - y^2} (-1 \leqq y \leqq 1) で、図形は 0 \leqq x \leqq a + \sqrt{1 - y^2} の範囲。断面の円の半径は a + \sqrt{1 - y^2} になる。
V_1 = \displaystyle\int_{-1}^{1} \pi\left(a + \sqrt{1 - y^2}\right)^2 dy
\begin{aligned} &\left(a + \sqrt{1 - y^2}\right)^2 \\ &= a^2 + 2a\sqrt{1 - y^2} + 1 - y^2 \end{aligned}
\displaystyle\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - y^2}\,dy は半径 1 の半円の面積だから \dfrac{\pi}{2}。図の色をつけた部分にあたります。
残りの 2 つは \displaystyle\int_{-1}^{1} a^2\,dy = 2a^2 と \displaystyle\int_{-1}^{1} (1 - y^2)\,dy = \dfrac{4}{3} です。
真ん中の項は 2a \cdot \dfrac{\pi}{2} = \pi a。3 つを足して \pi をかけると V_1 が求まる。
V_1 = \pi\left(2a^2 + \pi a + \dfrac{4}{3}\right)
a > 1 だから円 C は y 軸と交わらない。高さ y で切った断面は、半径 a - \sqrt{1 - y^2} の円と半径 a + \sqrt{1 - y^2} の円にはさまれた部分です。
r = \sqrt{1 - y^2} とおくと、断面積は \pi(a + r)^2 - \pi(a - r)^2 = 4\pi ar。
V_2 = 4\pi a\displaystyle\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - y^2}\,dy
積分は同じ半円の面積 \dfrac{\pi}{2} だから、V_2 = 2\pi^2 a になる。
V_1 = 2V_2 に代入して両辺を \pi で割ります。
2a^2 + \pi a + \dfrac{4}{3} = 4\pi a
3 倍して整理すると 6a^2 - 9\pi a + 4 = 0 で、解は次の 2 つ。
a = \dfrac{9\pi \pm \sqrt{81\pi^2 - 96}}{12}
g(a) = 6a^2 - 9\pi a + 4 とおくと g(1) = 10 - 9\pi < 0 だから、2 つの解は 1 をはさむ。a > 1 を満たすのは大きいほうです。
a = \dfrac{9\pi + \sqrt{81\pi^2 - 96}}{12}