大阪大学理系 2021 年・第 1 問

曲線 y = \dfrac{1}{x} 上の点 \left(u,\ \dfrac{1}{u}\right) (u > 0) における接線の傾きは、y' = -\dfrac{1}{x^2} に x = u を代入した -\dfrac{1}{u^2} です。接線の方程式は次の形になる。

y = -\dfrac{1}{u^2}(x - u) + \dfrac{1}{u} = -\dfrac{x}{u^2} + \dfrac{2}{u}

この直線が \mathrm{P}(a,\ b) を通るのは b = -\dfrac{a}{u^2} + \dfrac{2}{u} のとき。両辺に u^2 をかけて移項すると、u についての 2 次方程式になります。

bu^2 - 2u + a = 0

判別式を 4 で割った値 1 - ab は正で、解の和 \dfrac{2}{b} と積 \dfrac{a}{b} も正だから、この方程式は異なる 2 つの正の解をもつ。その 2 つが接点の x 座標 s、t です。

解の公式で解くと、小さいほうが s、大きいほうが t になる。

s = \dfrac{1 - \sqrt{1 - ab}}{b}、t = \dfrac{1 + \sqrt{1 - ab}}{b}

(1) の s と t は分母がどちらも b のため、比をとると b が消えます。r = \sqrt{1 - ab} とおくと 0 < r < 1 で、比は r だけの式になる。

\dfrac{t}{s} = \dfrac{1 + r}{1 - r} = -1 + \dfrac{2}{1 - r}

r が小さいほど 1 - r は大きく、右辺は小さくなります。r は ab が大きいほど小さいため、\dfrac{t}{s} を最小にするには ab を最大にすればよい。

図の横軸は ab、縦軸は \dfrac{t}{s}。ab が 1 に近いのは \mathrm{P} が曲線 y = \dfrac{1}{x} のすぐ下にあるときで、2 つの接点が近寄り、\dfrac{t}{s} は 1 に近づく。

\mathrm{P} が動くのは放物線 y = \dfrac{9}{4} - 3x^2 のうち x > 0、y > 0 の部分で、b = \dfrac{9}{4} - 3a^2、0 < a < \dfrac{\sqrt{3}}{2} です。ab は a の 3 次関数になる。

ab = \dfrac{9}{4}a - 3a^3

a で微分すると \dfrac{9}{4} - 9a^2 = 9\left(\dfrac{1}{2} + a\right)\left(\dfrac{1}{2} - a\right) で、符号は a = \dfrac{1}{2} の前後で正から負に変わります。ab が最大になるのは a = \dfrac{1}{2} のときで、b = \dfrac{3}{2}、ab = \dfrac{3}{4}。

最大値 \dfrac{3}{4} は 1 より小さく、放物線上のどの点でも ab < 1 が成り立ちます。\mathrm{P} がどこにあっても、接線は 2 本引ける。

図は曲線 xy = k の k を大きくしていく様子です。放物線と共有点をもつ k は \dfrac{3}{4} までで、そのとき 2 つの曲線は点 \left(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{3}{2}\right) で接する。

ab = \dfrac{3}{4} のとき r = \sqrt{1 - \dfrac{3}{4}} = \dfrac{1}{2} です。これを \dfrac{t}{s} = \dfrac{1 + r}{1 - r} に代入する。

\dfrac{t}{s} = \dfrac{1 + \dfrac{1}{2}}{1 - \dfrac{1}{2}} = 3

\dfrac{t}{s} の最小値は 3 で、そのとき a = \dfrac{1}{2}、b = \dfrac{3}{2} です。

接点は s = \dfrac{1}{3}、t = 1 で、\mathrm{Q}\left(\dfrac{1}{3},\ 3\right)、\mathrm{R}(1,\ 1) になる。図の x 軸の上で、t は s のちょうど 3 倍のところにある。