xy 平面の第 1 象限内において，直線 l : y = mx (m > 0) と x 軸の両方に接している半径 a の円を C とし，円 C の中心を通る直線 y = tx (t > 0) を考える。また，直線 l と x 軸，および，円 C のすべてにそれぞれ 1 点で接する円の半径を b とする。ただし，b > a とする。
(1) m を用いて t を表せ。
(2) t を用いて \dfrac{b}{a} を表せ。
(3) 極限値 \displaystyle\lim_{m \to +0} \dfrac{1}{m}\left( \dfrac{b}{a} - 1 \right) を求めよ。
円 C は x 軸と l の両方に接するため、中心から 2 直線までの距離はどちらも a。中心は x 軸と l がつくる角の二等分線上にあり、その直線は y = tx です。
l と x 軸のなす角を \theta とすると \tan\theta = m で、0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}。y = tx と x 軸のなす角は \dfrac{\theta}{2} だから、t = \tan\dfrac{\theta}{2} になる。
2 倍角の公式から m = \dfrac{2t}{1 - t^2}。両辺に 1 - t^2 をかけて整理すると、t の 2 次方程式になります。
mt^2 + 2t - m = 0
解は t = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + m^2}}{m} で、t > 0 を満たすのは複号が + のほう。t = \dfrac{\sqrt{1 + m^2} - 1}{m} です。
半径 b の円も第 1 象限内で x 軸と l に接するため、中心は同じ直線 y = tx 上にある。中心の y 座標は半径に等しく、2 つの中心は \left(\dfrac{a}{t}, a\right) と \left(\dfrac{b}{t}, b\right) です。
b > a だから半径 b の円は C より原点から遠い側にあり、2 つの円は外接します。中心どうしの距離は a + b。
図の直角三角形で、横の辺は \dfrac{b - a}{t}、縦の辺は b - a。三平方の定理から、斜辺の長さは \sqrt{\left(\dfrac{b - a}{t}\right)^2 + (b - a)^2} です。
b - a をくくり出すと \dfrac{(b - a)\sqrt{1 + t^2}}{t} となり、これが中心どうしの距離 a + b に等しい。
\dfrac{(b - a)\sqrt{1 + t^2}}{t} = a + b
r = \dfrac{b}{a} とおき、両辺を a で割って t をかけると (r - 1)\sqrt{1 + t^2} = t(r + 1)。r について解きます。
r = \dfrac{\sqrt{1 + t^2} + t}{\sqrt{1 + t^2} - t}
分子と分母に \sqrt{1 + t^2} + t をかけると、分母は (1 + t^2) - t^2 = 1 になる。\dfrac{b}{a} = \left(t + \sqrt{1 + t^2}\right)^2 です。
(2) の式を展開すると \dfrac{b}{a} - 1 = 2t^2 + 2t\sqrt{1 + t^2}。これを m で割り、\dfrac{t}{m} を含む形に書きかえる。
\dfrac{1}{m}\left(\dfrac{b}{a} - 1\right) = 2 \cdot \dfrac{t}{m}\left(t + \sqrt{1 + t^2}\right)
(1) の t の分子を有理化すると t = \dfrac{m}{\sqrt{1 + m^2} + 1}。m \to +0 のとき t \to 0 で、\dfrac{t}{m} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + m^2} + 1} は \dfrac{1}{2} に近づきます。
求める極限値は 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot (0 + 1) = 1。
図は円 C を止めたまま m を変えたものです。m を小さくすると、l は C の上に接する x 軸と平行な直線に近づき、半径 b の円は C と同じ大きさに近づく。\dfrac{b}{a} - 1 は 0 に近づき、その値は m とほぼ同じになります。