自然数 n に対して，関数 f_n(x) を，f_n(x) = 1 - \dfrac{1}{2}e^{nx} + \cos\dfrac{x}{3} (x \geqq 0) で定める。ただし，e は自然対数の底である。
(1) 方程式 f_n(x) = 0 は，ただ 1 つの実数解をもつことを示せ。
(2) (1) における実数解を a_n とおくとき，極限値 \displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n を求めよ。
(3) 極限値 \displaystyle\lim_{n \to \infty} na_n を求めよ。
e^{nx} の微分は ne^{nx}、\cos\dfrac{x}{3} の微分は -\dfrac{1}{3}\sin\dfrac{x}{3} だから、導関数は次の形です。
f_n'(x) = -\dfrac{n}{2}e^{nx} - \dfrac{1}{3}\sin\dfrac{x}{3}
x \geqq 0 では e^{nx} \geqq 1 だから、第 1 項は -\dfrac{n}{2} 以下。第 2 項は、\sin\dfrac{x}{3} \geqq -1 より \dfrac{1}{3} を超えない。
f_n'(x) \leqq -\dfrac{n}{2} + \dfrac{1}{3}
n \geqq 1 より右辺は -\dfrac{1}{6} 以下で、f_n'(x) はつねに負です。f_n(x) は x \geqq 0 で減少し続ける。
f_n(x) は 1 + \cos\dfrac{x}{3} から \dfrac{1}{2}e^{nx} を引いたもの。図は n = 1 のときで、2 本の曲線の高さの差が f_1(x) にあたります。
x = 0 での差は 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} で、正の値。
1 + \cos\dfrac{x}{3} は 2 を超えないため、\dfrac{1}{2}e^{nx} が 2 になる x = \dfrac{\log 4}{n} では差が 0 以下になる。代入すると次の値です。
f_n\left(\dfrac{\log 4}{n}\right) = -1 + \cos\dfrac{\log 4}{3n}
\log 4 < 3 より 0 < \dfrac{\log 4}{3n} < 1 で、\cos\dfrac{\log 4}{3n} < 1 だから、この値は負です。
f_n(x) は連続で、中間値の定理より 0 < x < \dfrac{\log 4}{n} に f_n(x) = 0 となる x がある。減少し続ける関数が 0 になる点は 1 つしかなく、実数解はただ 1 つに決まる。
(1) で調べたとおり、a_n は次の範囲にあります。
0 < a_n < \dfrac{\log 4}{n}
n \to \infty のとき右側の \dfrac{\log 4}{n} は 0 に近づく。はさみうちの原理から、極限値は 0 です。
\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = 0
a_n は方程式の解だから f_n(a_n) = 0 が成り立ち、e^{na_n} について解ける。
e^{na_n} = 2 + 2\cos\dfrac{a_n}{3}
図は n = 1, 2, 4, 8 の交点を順に示したもの。交点の高さ \dfrac{1}{2}e^{na_n} は、n が大きいほど 2 に近い。
両辺の自然対数をとると、na_n を a_n だけの式で表せます。
na_n = \log\left(2 + 2\cos\dfrac{a_n}{3}\right)
(2) より a_n \to 0 だから \cos\dfrac{a_n}{3} \to 1 で、右辺は \log 4 に近づく。
\displaystyle\lim_{n \to \infty} na_n = \log 4 = 2\log 2