n を 2 以上の自然数とする。
(1) 0 \leqq x \leqq 1 のとき，次の不等式が成り立つことを示せ。
\begin{gathered}\dfrac{1}{2}x^n \leqq \\ (-1)^n\left\{\dfrac{1}{x+1} - 1 - \sum_{k=2}^{n}(-x)^{k-1}\right\} \\ \leqq x^n - \dfrac{1}{2}x^{n+1}\end{gathered}
(2) a_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k} とするとき，次の極限値を求めよ。\displaystyle\lim_{n \to \infty}(-1)^n n(a_n - \log 2)
1 と和の部分を合わせると、初項 1、公比 -x、項数 n の等比数列の和になります。公比 -x は 1 ではないため、和の公式が使える。
\begin{aligned}1 + \sum_{k=2}^{n}(-x)^{k-1} &= \sum_{k=1}^{n}(-x)^{k-1} \\ &= \dfrac{1 - (-x)^n}{1 + x}\end{aligned}
\dfrac{1}{x+1} からこの和を引くと、分子の 1 が消えます。
\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1 - (-x)^n}{1 + x} = \dfrac{(-x)^n}{1 + x}
(-x)^n = (-1)^n x^n だから、(-1)^n をかけた真ん中の式は (-1)^{2n}\dfrac{x^n}{1 + x} = \dfrac{x^n}{1 + x}。
図は n = 2 から 7 までの和のグラフです。n が偶数なら \dfrac{1}{x+1} の下、奇数なら上にあり、差 \dfrac{(-x)^n}{1 + x} の符号は (-1)^n と同じになっている。
左側の \dfrac{1}{2}x^n との差は、通分すると分子に 1 - x が残ります。
\dfrac{x^n}{1 + x} - \dfrac{1}{2}x^n = \dfrac{x^n(1 - x)}{2(1 + x)}
右側との差は、x^n でくくってから通分する。
\begin{aligned}&x^n - \dfrac{1}{2}x^{n+1} - \dfrac{x^n}{1 + x} \\ &= x^n \cdot \dfrac{(2 - x)(1 + x) - 2}{2(1 + x)} \\ &= \dfrac{x^{n+1}(1 - x)}{2(1 + x)}\end{aligned}
0 \leqq x \leqq 1 では x^n、x^{n+1}、1 - x はどれも 0 以上で、1 + x は正です。2 つの差はどちらも 0 以上になり、不等式が成り立つ。
図の 3 本の曲線は x = 0 と x = 1 で同じ値をとり、そのあいだでは \dfrac{x^n}{1 + x} が両側の 2 本にはさまれている。
\displaystyle\int_0^1 (-x)^{k-1}\,dx = \dfrac{(-1)^{k-1}}{k} だから、中かっこの中を積分すると a_n が現れます。
\begin{aligned}&\int_0^1\left\{\dfrac{1}{x+1} - 1 - \sum_{k=2}^{n}(-x)^{k-1}\right\}dx \\ &= \log 2 - 1 - \sum_{k=2}^{n}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k} \\ &= \log 2 - a_n\end{aligned}
真ん中の式の積分は、これに (-1)^n をかけた (-1)^n(\log 2 - a_n)。両側の式の積分は次のとおりです。
\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{2}x^n\,dx = \dfrac{1}{2(n + 1)}
\begin{aligned}&\int_0^1 \left(x^n - \dfrac{1}{2}x^{n+1}\right)dx \\ &= \dfrac{1}{n + 1} - \dfrac{1}{2(n + 2)} \\ &= \dfrac{n + 3}{2(n + 1)(n + 2)}\end{aligned}
(1) の不等式は 0 \leqq x \leqq 1 のどの x でも成り立つため、積分しても不等号の向きは変わらない。
\begin{aligned}\dfrac{1}{2(n + 1)} &\leqq (-1)^n(\log 2 - a_n) \\ &\leqq \dfrac{n + 3}{2(n + 1)(n + 2)}\end{aligned}
図で塗った部分の面積が (-1)^n(\log 2 - a_n) にあたります。
求める式は (-1)^n(\log 2 - a_n) に -n をかけたものです。
\begin{aligned}&(-1)^n n(a_n - \log 2) \\ &= -n \cdot (-1)^n(\log 2 - a_n)\end{aligned}
-n は負の数なので、かけると不等号の向きが逆になる。
\begin{aligned}&-\dfrac{n(n + 3)}{2(n + 1)(n + 2)} \\ &\leqq (-1)^n n(a_n - \log 2) \\ &\leqq -\dfrac{n}{2(n + 1)}\end{aligned}
n \to \infty のとき \dfrac{n(n + 3)}{(n + 1)(n + 2)} と \dfrac{n}{n + 1} はどちらも 1 に近づくため、左端と右端の極限はともに -\dfrac{1}{2} です。
はさみうちの原理から、極限値は -\dfrac{1}{2}。
a_n は \log 2 の上と下に交互に並び、ずれの大きさはおよそ \dfrac{1}{2n} です。図の点は (-1)^n n(a_n - \log 2) で、両端の式にはさまれたまま -\dfrac{1}{2} に近づいていく。