次の各問いに答えよ。
(1) 定積分 \displaystyle\int_1^4 \sqrt{x}\log(x^2)\,dx の値を求めよ。
(2) 整式 x^{2023} - 1 を整式 x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 で割ったときの余りを求めよ。
積分する範囲は 1 \leqq x \leqq 4 で、x はつねに正です。この範囲では \log(x^2) = 2\log x と書けるため、求める値は次の積分の 2 倍になる。
\displaystyle\int_1^4 \sqrt{x}\log x\,dx
図の曲線は y = \sqrt{x}\log(x^2) で、塗った部分の面積がもとの定積分にあたります。x = 1 では \log 1 = 0 だから、曲線は x 軸上の点 (1, 0) から始まる。
\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} を積分し、\log x を微分する組み合わせで部分積分します。x^{\frac{1}{2}} の原始関数の 1 つは \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}、\log x の導関数は \dfrac{1}{x}。
\begin{aligned} &\int_1^4 \sqrt{x}\log x\,dx \\ &= \left[\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\log x\right]_1^4 - \int_1^4 \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \cdot \dfrac{1}{x}\,dx \end{aligned}
最初の項は、x = 4 で x^{\frac{3}{2}} = 8、x = 1 で \log 1 = 0 だから \dfrac{2}{3} \cdot 8\log 4 = \dfrac{32}{3}\log 2 です。残りの積分は \dfrac{2}{3}\int_1^4 x^{\frac{1}{2}}\,dx = \dfrac{4}{9}\left[x^{\frac{3}{2}}\right]_1^4 で、値は \dfrac{4}{9}(8 - 1) = \dfrac{28}{9} になる。
\displaystyle\int_1^4 \sqrt{x}\log x\,dx = \dfrac{32}{3}\log 2 - \dfrac{28}{9}
求める値はこれを 2 倍した \dfrac{64}{3}\log 2 - \dfrac{56}{9} です。
図は、横軸に \log x、縦軸に \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} をとって 1 \leqq x \leqq 4 の点を結んだ曲線。面積 \dfrac{32}{3}\log 2 の長方形は、曲線によって左上の \int_1^4 \sqrt{x}\log x\,dx と右下の \dfrac{28}{9} に分かれます。
割る式に x - 1 をかけて展開すると、x^5 と -1 のほかの項はすべて打ち消し合います。
(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = x^5 - 1
だから x^5 - 1 は割る式で割り切れる。x^{k+5} - x^k = x^k(x^5 - 1) も割り切れるため、x^{k+5} と x^k を割った余りは等しい。
指数を 5 ずつ減らしていけば、どの x^k も 1、x、x^2、x^3、x^4 のどれかと同じ余りになります。図の点は指数が 1 増えるごとに次の頂点へ移り、5 回で元の頂点に戻る。
2023 = 5 \cdot 404 + 3 だから、x^{2023} の指数を 5 ずつ 404 回減らすと x^3 になります。x^{2023} と x^3 を割った余りは等しく、差の x^{2023} - x^3 は割り切れる。
x^{2023} - 1 = (x^{2023} - x^3) + (x^3 - 1)
右辺の x^{2023} - x^3 は割り切れ、x^3 - 1 は割る式の 4 次より次数が低い。求める余りは x^3 - 1 です。