平面上の 3 点 \mathrm{O}, \mathrm{A}, \mathrm{B} が
|2\vec{\mathrm{OA}} + \vec{\mathrm{OB}}| = |\vec{\mathrm{OA}} + 2\vec{\mathrm{OB}}| = 1 かつ (2\vec{\mathrm{OA}} + \vec{\mathrm{OB}}) \cdot (\vec{\mathrm{OA}} + \vec{\mathrm{OB}}) = \dfrac{1}{3}
をみたすとする。
(1) (2\vec{\mathrm{OA}} + \vec{\mathrm{OB}}) \cdot (\vec{\mathrm{OA}} + 2\vec{\mathrm{OB}}) を求めよ。
(2) 平面上の点 \mathrm{P} が，|\vec{\mathrm{OP}} - (\vec{\mathrm{OA}} + \vec{\mathrm{OB}})| \leqq \dfrac{1}{3} かつ \vec{\mathrm{OP}} \cdot (2\vec{\mathrm{OA}} + \vec{\mathrm{OB}}) \leqq \dfrac{1}{3} をみたすように動くとき，|\vec{\mathrm{OP}}| の最大値と最小値を求めよ。
\vec{u} = 2\vec{\mathrm{OA}} + \vec{\mathrm{OB}}、\vec{v} = \vec{\mathrm{OA}} + 2\vec{\mathrm{OB}} とおきます。条件の前半は |\vec{u}| = |\vec{v}| = 1。
\vec{u} + \vec{v} = 3(\vec{\mathrm{OA}} + \vec{\mathrm{OB}}) から、\vec{\mathrm{OA}} + \vec{\mathrm{OB}} = \dfrac{\vec{u} + \vec{v}}{3} と書ける。
条件の後半の内積を \vec{u}、\vec{v} で書くと、|\vec{u}|^2 = 1 が使えます。
\begin{aligned}\vec{u} \cdot \dfrac{\vec{u} + \vec{v}}{3} &= \dfrac{|\vec{u}|^2 + \vec{u} \cdot \vec{v}}{3} \\ &= \dfrac{1 + \vec{u} \cdot \vec{v}}{3}\end{aligned}
これが \dfrac{1}{3} に等しいため \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 となり、求める内積は 0 です。
\vec{u} と \vec{v} は長さ 1 で垂直。図の \mathrm{C} は \vec{\mathrm{OC}} = \vec{\mathrm{OA}} + \vec{\mathrm{OB}} となる点で、\vec{u} と \vec{v} でできる正方形の対角線上にある。
\mathrm{O} を原点とし、\vec{u} = (1,\ 0)、\vec{v} = (0,\ 1) となる座標をとります。\mathrm{C} の座標は \left(\dfrac{1}{3},\ \dfrac{1}{3}\right)。
\mathrm{P}(x,\ y) とすると、1 つ目の条件は |\vec{\mathrm{OP}} - \vec{\mathrm{OC}}| = \mathrm{CP} \leqq \dfrac{1}{3} です。\mathrm{P} は \mathrm{C} を中心とする半径 \dfrac{1}{3} の円の周と内部にある。
2 つ目は \vec{\mathrm{OP}} \cdot \vec{u} = x だから x \leqq \dfrac{1}{3}。
直線 x = \dfrac{1}{3} は中心 \mathrm{C} を通るため、\mathrm{P} が動くのは円の周と内部のうち左半分になります。
\mathrm{OC} = \dfrac{\sqrt{2}}{3} は半径 \dfrac{1}{3} より大きく、\mathrm{O} は円の外にあります。
\mathrm{OP} + \mathrm{PC} \geqq \mathrm{OC} と \mathrm{PC} \leqq \dfrac{1}{3} から、\mathrm{OP} \geqq \dfrac{\sqrt{2}}{3} - \dfrac{1}{3} が成り立つ。
等号は、\mathrm{P} が線分 \mathrm{OC} と円周の交点 \mathrm{M} にあるときです。
\mathrm{M} の x 座標は \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3\sqrt{2}} で \dfrac{1}{3} より小さく、左半分に含まれる。最小値は \dfrac{\sqrt{2} - 1}{3} です。
円全体で \mathrm{O} からいちばん遠いのは、直線 \mathrm{OC} と円周の交点のうち、\mathrm{C} の向こう側にある \mathrm{E} です。\mathrm{E} の x 座標は \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3\sqrt{2}} で、左半分から外れる。
円の条件 \left(x - \dfrac{1}{3}\right)^2 + \left(y - \dfrac{1}{3}\right)^2 \leqq \dfrac{1}{9} を展開して、x^2 + y^2 について解きます。
x^2 + y^2 \leqq \dfrac{2}{3}(x + y) - \dfrac{1}{9}
左半分では x \leqq \dfrac{1}{3} で、円の中では y \leqq \dfrac{2}{3}。右辺は x、y が大きいほど大きくなるため、この 2 つの上限を代入できる。
x^2 + y^2 \leqq \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}\right) - \dfrac{1}{9} = \dfrac{5}{9}
等号は x = \dfrac{1}{3}、y = \dfrac{2}{3} のときで、この点 \mathrm{D} は円周と直線 x = \dfrac{1}{3} の交点にあたります。最大値は \mathrm{OD} = \dfrac{\sqrt{5}}{3}。