曲線はいつも点 (0,\ 1) を通る

f(x) = ax^2 + bx + 1 とおくと、a、b の値によらず f(0) = 1 です。曲線 y = f(x) はいつも x 軸より上の点 (0,\ 1) を通る。

この曲線が x > 0 の範囲で x 軸と交わるか接すると、共有点ができます。曲線の形は x^2 の係数 a の符号で変わるため、a < 0、a = 0、a > 0 の 3 つに分けて調べる。

a < 0 のとき

曲線は上に凸な放物線で、x を大きくしていくと f(x) はいくらでも小さくなり、やがて負の値をとる。

点 (0,\ 1) から負の値をとる点まで、曲線はとぎれずにつながっています。そのあいだのどこかで x 軸と交わるため、a < 0 では b がどんな値でも共有点がある。

曲線は直線 y = bx + 1 で、傾き b の符号によって x 軸との交わり方が決まります。

b < 0 なら x = -\dfrac{1}{b} で x 軸と交わり、この値は正です。b \geqq 0 なら x > 0 で bx + 1 \geqq 1 となって共有点はなく、a = 0 のときの条件は b \geqq 0。

曲線は下に凸な放物線で、軸は直線 x = -\dfrac{b}{2a} です。a > 0 だから、軸が y 軸の右にあるか左にあるかは b の符号で決まる。

b \geqq 0 のとき、軸は x \leqq 0 の範囲にあります。x > 0 では f(x) が増え続けて f(x) > f(0) = 1 となり、共有点はない。

b < 0 のとき、軸は x > 0 の範囲にあり、頂点の y 座標が x > 0 での最小値になります。

f\left(-\dfrac{b}{2a}\right) = 1 - \dfrac{b^2}{4a}

この値が正なら共有点はない。0 なら頂点で x 軸に接し、負なら x > 0 の 2 点で交わります。

1 - \dfrac{b^2}{4a} > 0 の両辺に正の数 4a をかけると 4a - b^2 > 0 で、b < 0 のときの条件は a > \dfrac{b^2}{4}。

3 つの場合を合わせると、求める条件は「a \geqq 0 かつ b \geqq 0」または「b < 0 かつ a > \dfrac{b^2}{4}」です。後ろの条件では a > \dfrac{b^2}{4} > 0 となり、a > 0 も満たされている。

横軸を a、縦軸を b にとると、領域の境界は b 軸の b \geqq 0 の部分と、放物線 a = \dfrac{b^2}{4} の b < 0 の部分です。この 2 つは原点でつながり、領域はその右側にある。

境界のうち、b 軸の部分は原点も含めて領域に属し、放物線の部分は属さない。放物線上の点では、曲線 y = f(x) の頂点が x 軸に接するためです。