n を自然数とし，t を t \geqq 1 を満たす実数とする。
(1) x \geqq t のとき，不等式 \begin{gathered} -\dfrac{(x - t)^2}{2} \leqq \\ \log x - \log t - \dfrac{1}{t}(x - t) \\ \leqq 0 \end{gathered} が成り立つことを示せ。
(2) 不等式 \begin{gathered} -\dfrac{1}{6n^3} \leqq \\ \displaystyle\int_t^{t + \frac{1}{n}} \log x\,dx - \dfrac{1}{n}\log t - \dfrac{1}{2tn^2} \\ \leqq 0 \end{gathered} が成り立つことを示せ。
(3) a_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \log\left(1 + \dfrac{k}{n}\right) とおく。\displaystyle\lim_{n \to \infty}(a_n - pn) = q を満たすような実数 p，q の値を求めよ。
f(x) = \log x - \log t - \dfrac{1}{t}(x - t) とおきます。f(t) = 0 で、x \geqq t での導関数は 0 以下。
f'(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{t} \leqq 0
f は x \geqq t で減少するため、f(x) \leqq f(t) = 0 が成り立つ。
y = \log t + \dfrac{1}{t}(x - t) は、曲線 y = \log x の x = t における接線です。右側の不等式は、x \geqq t で曲線が接線より下にあることを表している。
g(x) = f(x) + \dfrac{(x - t)^2}{2} とおくと g(t) = 0 です。導関数を因数分解する。
\begin{aligned} g'(x) & = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{t} + (x - t) \\ & = (x - t)\left(1 - \dfrac{1}{tx}\right) \end{aligned}
x \geqq t \geqq 1 では x - t \geqq 0、tx \geqq 1 だから g'(x) \geqq 0。g は増加し、g(x) \geqq g(t) = 0 となって左側の不等式も成り立ちます。
図の破線は y = \log t + \dfrac{1}{t}(x - t) - \dfrac{(x - t)^2}{2} です。x \geqq t では、曲線 y = \log x が接線と破線のあいだに挟まれる。
(1) の不等式の各辺を x について t から t + \dfrac{1}{n} まで積分します。積分しても大小は変わらない。
\displaystyle\int_t^{t + \frac{1}{n}} \log t\,dx = \dfrac{1}{n}\log t、\displaystyle\int_t^{t + \frac{1}{n}} \dfrac{x - t}{t}\,dx = \dfrac{1}{2tn^2}
\displaystyle\int_t^{t + \frac{1}{n}} \dfrac{(x - t)^2}{2}\,dx = \dfrac{1}{6n^3}
真ん中は (2) の式そのものになり、左端は -\dfrac{1}{6n^3}、右端は 0 です。これで (2) の不等式が示せた。
図で塗ったのは、t から t + \dfrac{1}{n} までの接線と曲線のあいだ。その面積は (2) の真ん中の式に負号をつけた値で、0 以上 \dfrac{1}{6n^3} 以下に収まる。
(2) で t = 1 + \dfrac{k}{n} (k = 0, 1, \cdots, n - 1) とおきます。積分の区間は 1 + \dfrac{k}{n} から 1 + \dfrac{k + 1}{n} までで、k について足すと区間がつながり、1 から 2 までの積分になる。
\begin{gathered} -\dfrac{1}{6n^2} \leqq \\ \displaystyle\int_1^2 \log x\,dx - \dfrac{a_n}{n} - \dfrac{1}{2n^2}\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{1 + \dfrac{k}{n}} \\ \leqq 0 \end{gathered}
図は n を変えながら、各区間の左端で引いた接線を並べたものです。接線と曲線のすきまは、n を大きくすると狭くなっていく。
\log x の原始関数 x\log x - x を使うと、真ん中の積分の値が決まります。
\begin{aligned} \int_1^2 \log x\,dx & = \left[x\log x - x\right]_1^2 \\ & = 2\log 2 - 1 \end{aligned}
S_n = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{1 + \dfrac{k}{n}} とおき、各辺に n をかけて整理する。
\begin{gathered} -\dfrac{S_n}{2} \leqq a_n - (2\log 2 - 1)n \\ \leqq -\dfrac{S_n}{2} + \dfrac{1}{6n} \end{gathered}
S_n は図の長方形の面積の和で、y = \dfrac{1}{1 + x} の下の面積を幅 \dfrac{1}{n} の長方形で近似したものです。n \to \infty のとき積分に近づく。
\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n = \int_0^1 \dfrac{dx}{1 + x} = \log 2
はさみうちの原理から、a_n - (2\log 2 - 1)n は -\dfrac{1}{2}\log 2 に収束します。
p \neq 2\log 2 - 1 なら、a_n - pn は収束する a_n - (2\log 2 - 1)n に (2\log 2 - 1 - p)n を足したもので、後ろの項が発散するため収束しない。
求める値は p = 2\log 2 - 1、q = -\dfrac{1}{2}\log 2 です。