a を正の実数とし，f(x) = x^2 - 2ax + 4a^2 とする。\mathrm{O} を原点とする xy 平面上の放物線 C : y = f(x) の頂点を \mathrm{A} とする。直線 \mathrm{OA} と C の交点のうち \mathrm{A} と異なるものを \mathrm{P}(p, f(p)) とし，\mathrm{O} から C へ引いた接線の接点を \mathrm{Q}(q, f(q)) とする。ただし，q > 0 とする。
(1) p, q の値を a を用いて表せ。また，p > q であることを示せ。
(2) 放物線 C の q \leqq x \leqq p の部分，線分 \mathrm{OP}，および線分 \mathrm{OQ} で囲まれた図形の面積を S とおく。S を a を用いて表せ。
(3) (2)の S に対し，S = \dfrac{2}{3} となるときの a の値を求めよ。
f(x) = (x - a)^2 + 3a^2 と変形すると、頂点は \mathrm{A}(a, 3a^2)。直線 \mathrm{OA} は原点を通り、傾きは 3a です。
直線 y = 3ax と C の式を連立すると、交点の x 座標は次の方程式の解になる。
x^2 - 2ax + 4a^2 = 3ax
(x - a)(x - 4a) = 0
x = a は頂点 \mathrm{A} の x 座標だから、p = 4a。点 \mathrm{P} は (4a, 12a^2) です。
f'(x) = 2x - 2a より、C 上の点 (q, f(q)) における接線は次の式で表される。
y = (2q - 2a)(x - q) + q^2 - 2aq + 4a^2
この式に x = 0、y = 0 を代入すると、接線が原点を通る条件として次の式を得ます。
q^2 = 4a^2
q > 0 より q = 2a で、(1) の答えは p = 4a、q = 2a。a > 0 だから p - q = 2a > 0 となり、p > q が成り立つ。
接点は \mathrm{Q}(2a, 4a^2)、接線 \mathrm{OQ} は y = 2ax です。
放物線は下に凸だから、\mathrm{Q} と \mathrm{P} のあいだでは弦 \mathrm{QP} より下を通る。図形は、三角形 \mathrm{OQP} に弦と放物線のあいだの部分を足したものです。
三角形の面積は、\vec{\mathrm{OQ}} = (2a, 4a^2) と \vec{\mathrm{OP}} = (4a, 12a^2) から求められる。
\dfrac{1}{2}|2a \cdot 12a^2 - 4a \cdot 4a^2| = 4a^3
弦 \mathrm{QP} の式は y = 4ax - 4a^2。放物線との差は -(x - 2a)(x - 4a) で、その積分は区間の幅 2a の 3 乗を 6 で割った値になります。
\displaystyle\int_{2a}^{4a} \{-(x - 2a)(x - 4a)\} \, dx = \dfrac{(2a)^3}{6} = \dfrac{4}{3}a^3
2 つを合わせて、(2) の答えは S = 4a^3 + \dfrac{4}{3}a^3 = \dfrac{16}{3}a^3。
\dfrac{16}{3}a^3 = \dfrac{2}{3} を解くと a^3 = \dfrac{1}{8}。
a は正の実数だから、(3) の答えは a = \dfrac{1}{2} です。