f(x) = \log(x + 1) + 1 とする。以下の問いに答えよ。
(1) 方程式 f(x) = x は，x > 0 の範囲でただ 1 つの解をもつことを示せ。
(2) (1)の解を \alpha とする。実数 x が 0 < x < \alpha を満たすならば，次の不等式が成り立つことを示せ。
0 < \dfrac{\alpha - f(x)}{\alpha - x} < f'(x)
(3) 数列 \{x_n\} を，x_1 = 1，x_{n+1} = f(x_n) (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) で定める。このとき，すべての自然数 n に対して，\alpha - x_{n+1} < \dfrac{1}{2}(\alpha - x_n) が成り立つことを示せ。
(4) (3)の数列 \{x_n\} について，\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha を示せ。
g(x) = \log(x + 1) + 1 - x とおき、x \geqq 0 で調べます。
g'(x) = \dfrac{1}{x + 1} - 1 = -\dfrac{x}{x + 1}
x > 0 で g'(x) < 0 だから、g(x) は x \geqq 0 で減少する。g(0) = 1 > 0 で、g(3) = \log 4 - 2 = 2(\log 2 - 1) は 2 < e より負です。
g(x) は連続だから、中間値の定理により 0 < x < 3 に g(x) = 0 となる x がある。減少するため 0 になるのは 1 回だけで、x > 0 の解はただ 1 つです。
g(1) = \log 2 > 0 より、この解 \alpha は 1 より大きい。図の縦の線分は g(x) の値で、曲線 y = f(x) が直線 y = x より上にあるあいだは正、交点 \alpha を過ぎると負になります。
f(\alpha) = \alpha だから、分子の \alpha - f(x) は f(\alpha) - f(x) と書けます。平均値の定理により、x < c < \alpha を満たす c があって次が成り立つ。
\begin{aligned} \dfrac{\alpha - f(x)}{\alpha - x} &= \dfrac{f(\alpha) - f(x)}{\alpha - x} \\ &= f'(c) \end{aligned}
f'(x) = \dfrac{1}{x + 1} は x > 0 で正で、x が大きいほど小さくなります。x < c より 0 < f'(c) < f'(x) となり、示す不等式が成り立つ。
真ん中の分数は、曲線 y = f(x) 上の 2 点 (x,\ f(x))、(\alpha,\ \alpha) を結ぶ直線の傾き。図では、点 (x,\ f(x)) での接線よりゆるやかになっています。
(2) を x = x_n で使うため、1 \leqq x_n < \alpha を数学的帰納法で示します。n = 1 では x_1 = 1 で、(1) の \alpha > 1 から成り立つ。
1 \leqq x_n < \alpha とすると、f(x) は増加関数だから f(1) \leqq f(x_n) < f(\alpha) です。f(1) = \log 2 + 1 > 1、f(\alpha) = \alpha より 1 < x_{n+1} < \alpha となり、n + 1 でも成り立つ。
図は x_1 = 1 から始めて、曲線 y = f(x) で x_{n+1} の高さまで上がり、直線 y = x でその値を横軸に移す操作をくり返したもの。x_n は左から \alpha に近づいていきます。
(2) の不等式の右側に x = x_n を代入し、両辺に \alpha - x_n > 0 をかけます。左辺は \alpha - f(x_n) = \alpha - x_{n+1} になる。
\begin{aligned} \alpha - x_{n+1} &< f'(x_n)(\alpha - x_n) \\ &= \dfrac{\alpha - x_n}{x_n + 1} \\ &\leqq \dfrac{1}{2}(\alpha - x_n) \end{aligned}
最後の不等号は、x_n \geqq 1 から x_n + 1 \geqq 2 となることによります。1 行目の不等号は等号を含まないため、両端は \alpha - x_{n+1} < \dfrac{1}{2}(\alpha - x_n) で結ばれる。
図の上の棒は \alpha - x_n、下の棒は \alpha - x_{n+1} で、目盛りは上の棒のちょうど半分の位置です。下の棒はどの n でも上の棒の半分より短く、左端は目盛りより右にある。
(3) の不等式を n - 1 回くり返して使うと、\alpha - x_n は \alpha - x_1 = \alpha - 1 に \dfrac{1}{2} を n - 1 回かけたもの以下になります。
0 < \alpha - x_n \leqq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}(\alpha - 1)
左の 0 < は (3) で確かめた x_n < \alpha による。n \to \infty で右辺は 0 に近づくため、はさみうちの原理から \alpha - x_n \to 0 で、\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha です。
図の棒は \alpha - x_n、横線は右辺の値で、どの棒も横線より低い。