関数 f(x) = \sin 3x + \sin x について，以下の問いに答えよ。
(1) f(x) = 0 を満たす正の実数 x のうち，最小のものを求めよ。
(2) 正の整数 m に対して，f(x) = 0 を満たす正の実数 x のうち，m 以下のものの個数を p(m) とする。極限値 \displaystyle\lim_{m \to \infty} \dfrac{p(m)}{m} を求めよ。
3 倍角の公式 \sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x を代入すると、f(x) は \sin x だけの式になります。
f(x) = 4\sin x - 4\sin^3 x
4\sin x でくくると、かっこの中は 1 - \sin^2 x = \cos^2 x になる。
f(x) = 4\sin x\cos^2 x
\cos^2 x は 0 以上 1 以下だから、f(x) のグラフは x 軸と y = 4\sin x のあいだにあります。f(x) = 0 となるのは、\sin x = 0 または \cos x = 0 のときです。
\sin x = 0 を満たす正の x は \pi, 2\pi, 3\pi, \cdots、\cos x = 0 を満たす正の x は \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3}{2}\pi, \dfrac{5}{2}\pi, \cdots。
2 つを合わせると、f(x) = 0 の正の解は \dfrac{k}{2}\pi (k = 1, 2, 3, \cdots) のすべてになる。
いちばん小さいのは k = 1 の \dfrac{\pi}{2} で、これが (1) の答えです。
x = \dfrac{\pi}{2} の前後では \sin x > 0、\cos^2 x \geqq 0 で、f(x) は 0 以上のまま。グラフは x 軸を横切らずに接しています。符号の変わり目だけを探すと、この解は見つからない。
\dfrac{k}{2}\pi \leqq m を k について解くと k \leqq \dfrac{2m}{\pi} です。p(m) は、これを満たす正の整数 k の個数になる。
1, 2, \cdots, p(m) は \dfrac{2m}{\pi} 以下で、次の整数 p(m) + 1 は \dfrac{2m}{\pi} を超えます。
\dfrac{2m}{\pi} - 1 < p(m) \leqq \dfrac{2m}{\pi}
左側の不等号は、p(m) + 1 > \dfrac{2m}{\pi} の 1 を移項した形。
各辺を m で割ります。
\dfrac{2}{\pi} - \dfrac{1}{m} < \dfrac{p(m)}{m} \leqq \dfrac{2}{\pi}
m \to \infty で左辺は \dfrac{2}{\pi} に近づき、右辺は \dfrac{2}{\pi} のまま。はさみうちの原理から、求める極限値は \dfrac{2}{\pi} です。
解は \dfrac{\pi}{2} おきに 1 つずつ並んでいて、長さ 1 あたりの個数はその逆数の \dfrac{2}{\pi} に近づく。