n を正の整数，a を正の実数とし，関数 f(x) と g(x) を次のように定める。
f(x) = n\log x，g(x) = ax^n
また，曲線 y = f(x) と曲線 y = g(x) が共有点をもち，その共有点における 2 つの曲線の接線が一致しているとする。このとき，以下の問いに答えよ。
(1) a の値を求めよ。
(2) この 2 つの曲線と x 軸で囲まれた部分の面積 S_n を求めよ。
(3) (2)で求めた S_n に対し，極限 \displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n を求めよ。
共有点の x 座標を t とおく。x = t での値と微分係数をそれぞれ等しくおけば接線は一致し、f'(x) = \dfrac{n}{x}、g'(x) = anx^{n-1} から次の 2 つの式になります。
n\log t = at^n
\dfrac{n}{t} = ant^{n-1}
下の式の両辺に \dfrac{t}{n} をかけると at^n = 1。上の式に代入して n\log t = 1、t = e^{\frac{1}{n}} となり、a も決まる。
a = \dfrac{1}{t^n} = \dfrac{1}{e}
共有点の y 座標は n\log t = 1 です。2 つの曲線は n によらず高さ 1 の点で接する。
h(x) = g(x) - f(x) = \dfrac{x^n}{e} - n\log x とおくと、微分は次の形にまとまります。
h'(x) = \dfrac{n}{x}\left(\dfrac{x^n}{e} - 1\right)
x^n = e となる x = t を境に h'(x) は負から正へ変わり、h(x) の最小値は h(t) = 1 - 1 = 0。接点のほかでは g(x) > f(x) です。
f(x) は x = 1 で 0 になり、g(x) は x > 0 で正の値をとる。囲まれた部分は、0 \leqq x \leqq 1 では x 軸と y = g(x) のあいだ、1 \leqq x \leqq t では 2 つの曲線のあいだにある。
S_n は、0 \leqq x \leqq t で y = g(x) と x 軸にはさまれた面積から、1 \leqq x \leqq t で y = f(x) と x 軸にはさまれた面積を引いたものです。
S_n = \displaystyle\int_0^t \dfrac{x^n}{e}\,dx - \int_1^t n\log x\,dx
t^n = e だから、前の積分は \dfrac{t^{n+1}}{(n+1)e} = \dfrac{t}{n+1}。後ろの積分は n[x\log x - x]_1^t で、\log t = \dfrac{1}{n} を使うと t - nt + n になる。
S_n = \dfrac{t}{n+1} - t + nt - n
t の係数は \dfrac{1}{n+1} + n - 1 = \dfrac{n^2}{n+1} にまとまる。最後に t = e^{\frac{1}{n}} を代入したものが (2) の答えです。
S_n = \dfrac{n^2}{n+1}e^{\frac{1}{n}} - n
S_n を \dfrac{n}{n+1} でくくると、残りは n\left(e^{\frac{1}{n}} - 1\right) - 1 になります。
S_n = \dfrac{n}{n+1}\{n(e^{\frac{1}{n}} - 1) - 1\}
u = \dfrac{1}{n} とおくと n\left(e^{\frac{1}{n}} - 1\right) = \dfrac{e^u - 1}{u} で、n \to \infty のとき u \to 0。この分数は e^x の x = 0 での微分係数 1 に近づく。
かっこの中は 1 - 1 = 0 に、前の \dfrac{n}{n+1} は 1 に近づくため、(3) の極限は次の値です。
\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n = 0