以下の問いに答えよ。
(1) t を t > 1 を満たす実数とする。正の実数 x が 2 つの条件
(a) x > \dfrac{1}{\sqrt{t} - 1}
(b) x \geqq 2\log_t x
をともに満たすとする。このとき，不等式 x + 1 > 2\log_t (x + 1) を示せ。
(2) n \leqq 2\log_2 n を満たす正の整数 n をすべて求めよ。
条件 (b) で x を x + 1 に替えると、左辺はちょうど 1 増える。右辺の 2\log_t x の増え方は、差を 1 つの対数にまとめて調べます。
2\log_t (x + 1) - 2\log_t x = 2\log_t \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)
x > 0 と \sqrt{t} - 1 > 0 から、条件 (a) は \dfrac{1}{x} < \sqrt{t} - 1 と書き直せる。つまり 1 + \dfrac{1}{x} < \sqrt{t} です。
t > 1 だから \log_t は増加関数で、差は 1 より小さい。
2\log_t \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) < 2\log_t \sqrt{t} = 1
差が 1 より小さいことと、条件 (b) の 2\log_t x \leqq x を順に使います。
2\log_t (x + 1) < 2\log_t x + 1 \leqq x + 1
よって x + 1 > 2\log_t (x + 1) が成り立つ。(b) を満たす x から 1 進んだ x + 1 も、等号なしで (b) を満たします。
(2) は t = 2 の場合にあたる。このとき条件 (a) の右辺は次の値です。
\dfrac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1
\sqrt{2} + 1 < 3 だから、3 以上の数はどれも (a) を満たす。
n = 5 では 2^5 = 32 > 25 = 5^2 より 5 > 2\log_2 5 で、(b) も満たす。(1) を使うと 6 > 2\log_2 6 となり、6 も (a) と (b) を満たします。
同じ議論をくり返すと、5 以上のすべての整数 n で n > 2\log_2 n。どれも (2) の条件を満たさない。
2\log_2 n = \log_2 n^2 だから、n \leqq 2\log_2 n は 2^n \leqq n^2 と同じ条件です。
n = 1 は 2 > 1 で満たさない。n = 2 は 4 = 4、n = 3 は 8 < 9、n = 4 は 16 = 16 で、どれも満たす。
(2) の答えは n = 2, 3, 4 です。