大阪大学理系 2023 年・第 3 問

y = \cos x の点 (t,\ \cos t) における接線は、傾きが -\sin t です。

y = -\sin t\,(x - t) + \cos t

\mathrm{P}(a,\ b) を通る条件は、x = a、y = b を代入した次の式になる。

b = (t - a)\sin t + \cos t

右辺を f(t) とおくと、N(\mathrm{P}) は -\pi \leqq t \leqq \pi の範囲で曲線 y = f(t) と直線 y = b の共有点の個数です。

\begin{aligned}f'(t) &= \sin t + (t - a)\cos t - \sin t \\ &= (t - a)\cos t\end{aligned}

f'(t) の符号は t - a と \cos t の符号で決まる。

図の \mathrm{P} は N(\mathrm{P}) = 4 となる点の 1 つで、\mathrm{P} を通る接線が 4 本引けます。

f'(t) = 0 となる t は -\dfrac{\pi}{2}、a、\dfrac{\pi}{2} の 3 つ。f(t) は t = -\dfrac{\pi}{2} で極大、t = a で極小、t = \dfrac{\pi}{2} で極大になります。

f(-\pi) = f(\pi) = -1、f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\pi}{2} + a、f(a) = \cos a、f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\pi}{2} - a

\cos a = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - a\right) < \dfrac{\pi}{2} - a だから、極小値は右の極大値より小さい。

直線 y = b が増加と減少の 4 つの区間すべてと交わるのは、\cos a < b < \dfrac{\pi}{2} - a のときです。この b は正で、両端の値 -1 より大きい。

b = \cos a や b = \dfrac{\pi}{2} - a では極値の点で接し、共有点は 3 個になる。

a = \dfrac{\pi}{2} では f'(t) = \left(t - \dfrac{\pi}{2}\right)\cos t が、-\pi \leqq t \leqq -\dfrac{\pi}{2} で 0 以上、-\dfrac{\pi}{2} \leqq t \leqq \pi で 0 以下です。f(t) は増えてから減るだけで、共有点は 2 個以下。

\dfrac{\pi}{2} < a < \pi では、t = -\dfrac{\pi}{2} と t = a で極大、t = \dfrac{\pi}{2} で極小になる。

\dfrac{\pi}{2} - a は負で、負の \theta では \sin\theta > \theta だから、\cos a = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - a\right) > \dfrac{\pi}{2} - a。極小値は右の極大値 \cos a より小さい。

4 個になるには、y = b が極小値と \cos a のあいだにあり、しかも両端の区間でも交わる必要があります。両端の区間で f(t) がとる値は -1 以上だから、\dfrac{\pi}{2} - a と -1 の大小で場合が分かれる。

a \leqq \dfrac{\pi}{2} + 1 なら \dfrac{\pi}{2} - a \geqq -1 で、条件は \dfrac{\pi}{2} - a < b < \cos a です。

a > \dfrac{\pi}{2} + 1 なら極小値は -1 より小さく、-1 < b < \cos a で 4 個になる。

b = -1 でも 4 個になります。t = -\pi と t = \pi の接線はどちらも直線 y = -1 ですが、N(\mathrm{P}) は t の個数を数えるため 2 個とし、極小をはさむ 2 個と合わせて 4 個。

\mathrm{P}(a,\ b) の範囲は次のとおりです。

0 < a < \dfrac{\pi}{2} のとき、\cos a < b < \dfrac{\pi}{2} - a

\dfrac{\pi}{2} < a \leqq \dfrac{\pi}{2} + 1 のとき、\dfrac{\pi}{2} - a < b < \cos a

\dfrac{\pi}{2} + 1 < a < \pi のとき、-1 \leqq b < \cos a

直線 y = \dfrac{\pi}{2} - x は、y = \cos x の x = \dfrac{\pi}{2} における接線です。図の範囲は曲線とこの接線にはさまれた部分で、x > \dfrac{\pi}{2} + 1 では直線 y = -1 が下の境界になる。

境界のうち範囲に含まれるのは、直線 y = -1 の \dfrac{\pi}{2} + 1 < x < \pi の部分だけで、ほかの境界は含みません。