実数 a = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} に対して，整式 f(x) = x^2 - ax + 1 を考える。
(1) 整式 x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 は f(x) で割り切れることを示せ。
(2) 方程式 f(x) = 0 の虚数解であって虚部が正のものを \alpha とする。\alpha を極形式で表せ。ただし，r^5 = 1 を満たす実数 r が r = 1 のみであることは，認めて使用してよい。
(3) 設問(2)の虚数 \alpha に対して，\alpha^{2023} + \alpha^{-2023} の値を求めよ。
a を 2 乗すると a^2 = \dfrac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} です。a を足すと \sqrt{5} の項は打ち消し合い、1 だけが残る。
a^2 + a = 1
a は t^2 + t = 1 の正の解にあたり、この関係は a(a + 1) = 1 とも書けます。
x^4 の係数と定数項がどちらも 1 だから、商を x^2 + bx + 1 とおいて f(x) とかけてみます。
(x^2 - ax + 1)(x^2 + bx + 1)
= x^4 + (b - a)x^3 + (2 - ab)x^2
\quad + (b - a)x + 1
x^3 と x の係数を 1 にするには b = a + 1 とすればよく、このとき x^2 の係数は 2 - a(a + 1) = 1 になる。
x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
= (x^2 - ax + 1)\{x^2 + (a + 1)x + 1\}
余りのない積の形に書けたため、x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 は f(x) で割り切れます。
f(\alpha) = 0 と (1) から \alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1 = 0 で、両辺に \alpha - 1 をかけると左辺は \alpha^5 - 1 にまとまる。
\alpha^5 = 1
\alpha = r(\cos\theta + i\sin\theta) (r > 0,\ 0 \leqq \theta < 2\pi) とおくと、ド・モアブルの定理から \alpha^5 = r^5(\cos 5\theta + i\sin 5\theta) です。
これが 1 に等しいことから、絶対値を比べて r^5 = 1 となり、問題文で認めてよいとされた事実から r = 1。実部と虚部を比べて \cos 5\theta = 1、\sin 5\theta = 0 が成り立ちます。
5\theta は 2\pi の整数倍で、0 \leqq \theta < 2\pi では \theta = 0, \dfrac{2}{5}\pi, \dfrac{4}{5}\pi, \dfrac{6}{5}\pi, \dfrac{8}{5}\pi の 5 つ。
虚部が正であることから \sin\theta > 0 で、残るのは \dfrac{2}{5}\pi と \dfrac{4}{5}\pi です。
解の公式から \alpha = \dfrac{a + \sqrt{4 - a^2}\,i}{2} で、実部 \dfrac{a}{2} は正。\cos\theta > 0 となるのは \dfrac{2}{5}\pi のほうです。
\alpha = \cos\dfrac{2}{5}\pi + i\sin\dfrac{2}{5}\pi
実部を比べると \cos\dfrac{2}{5}\pi = \dfrac{a}{2} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{4} もわかる。
2023 = 5 \cdot 404 + 3 だから \alpha^{2023} = (\alpha^5)^{404}\alpha^3 = \alpha^3。\alpha^{-2023} には \alpha^{2025} = (\alpha^5)^{405} = 1 をかけて \alpha^2 に直せます。
求める値は \alpha^2 + \alpha^3 で、\alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1 = 0 から -1 - (\alpha + \alpha^4) に等しい。
\alpha^4 = \dfrac{\alpha^5}{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha} で、f(x) = 0 の 2 つの解の積は 1 だから、\dfrac{1}{\alpha} はもう 1 つの解 \bar{\alpha} です。\alpha + \bar{\alpha} は解の和で a になる。
\alpha^{2023} + \alpha^{-2023} = -1 - a
a の値を代入して、答えは -\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} です。この数は、t^2 + t = 1 のもう 1 つの解でもある。