箱の中に 1 から n までの番号がついた n 枚の札がある。ただし n \geqq 5 とし，同じ番号の札はないとする。この箱から 3 枚の札を同時に取り出し，札の番号を小さい順に X，Y，Z とする。このとき，Y - X \geqq 2 かつ Z - Y \geqq 2 となる確率を求めよ。
n 枚から同時に選ぶ 3 枚の組は、どれも同じ確からしさで現れます。組は全部で _n\mathrm{C}_3 通りあり、X、Y、Z は組の番号を小さい順に並べたものとして 1 通りに決まる。
Y - X \geqq 2 は、X と Y のあいだに選ばれなかった番号が少なくとも 1 つあることを表します。Z - Y \geqq 2 も同じで、3 つの番号のどの 2 つも隣り合わない組を数えればよい。
条件を満たす組に対し、a = X、b = Y - 1、c = Z - 2 とおきます。Y - X \geqq 2 から a < b、Z - Y \geqq 2 から b < c となり、1 \leqq a、c \leqq n - 2 も成り立つ。
つまり (a,\ b,\ c) は、1 から n - 2 までの番号から 3 つを選んだ組です。逆に 1 \leqq a < b < c \leqq n - 2 を満たす組からは、X = a、Y = b + 1、Z = c + 2 として条件を満たす組が 1 つ決まり、この対応は 1 対 1 になります。
よって、条件を満たす組は _{n-2}\mathrm{C}_3 通り。
条件を満たす組の数を組の総数で割ると、求める確率は次のようになります。
\dfrac{_{n-2}\mathrm{C}_3}{_n\mathrm{C}_3} = \dfrac{(n-2)(n-3)(n-4)}{n(n-1)(n-2)}
= \dfrac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)}
n = 5 を代入すると \dfrac{2 \cdot 1}{5 \cdot 4} = \dfrac{1}{10}。1 から 5 の番号で隣り合わない 3 つは 1、3、5 だけで、_5\mathrm{C}_3 = 10 通りのうちの 1 通りと合います。