京都大学理系 2022 年・第 4 問

\mathrm{OB} = \mathrm{AB} = 3 だから、\mathrm{B} は \mathrm{O} と \mathrm{A} から等しい距離にあります。\mathrm{OC} = \mathrm{AC} = 2\sqrt{3} から \mathrm{C} も同じで、どちらも線分 \mathrm{OA} の垂直二等分面の上にある。

この平面は、\mathrm{OA} の中点 \mathrm{M} を通って \mathrm{OA} に垂直な平面です。\mathrm{B} と \mathrm{C} がこの平面にあるため、辺 \mathrm{BC} 全体も平面に含まれ、辺の上の \mathrm{P} はつねに \mathrm{PO} = \mathrm{PA} を満たします。

\triangle \mathrm{OAP} は \mathrm{PO} = \mathrm{PA} の二等辺三角形です。頂点 \mathrm{P} と底辺の中点 \mathrm{M} を結ぶ中線 \mathrm{PM} は、底辺 \mathrm{OA} に垂直になる。

重心 \mathrm{G} は中線 \mathrm{PM} を 2:1 に内分する点だから、\vec{\mathrm{PG}} = \dfrac{2}{3}\vec{\mathrm{PM}} です。(1) の \vec{\mathrm{PG}} \perp \vec{\mathrm{OA}} は、\vec{\mathrm{PM}} \perp \vec{\mathrm{OA}} からそのまま従います。

\mathrm{PG} = \dfrac{2}{3}\mathrm{PM} だから、(2) は \mathrm{PM} の最小値を求める問題になります。\mathrm{M}、\mathrm{B}、\mathrm{C} はどれも垂直二等分面の上にあり、\triangle \mathrm{MBC} の中で考えられる。

\mathrm{MB} は \mathrm{OA} に垂直で \mathrm{OM} = 2 だから、三平方の定理で \mathrm{MB} = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5} です。同じように \mathrm{MC} = \sqrt{12 - 4} = 2\sqrt{2} で、\mathrm{BC} = 3 と合わせて 3 辺がそろう。

余弦定理から、\mathrm{B} と \mathrm{C} の角の余弦は次のようになります。

\cos\angle \mathrm{MBC} = \dfrac{5 + 9 - 8}{2 \cdot \sqrt{5} \cdot 3} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}

\cos\angle \mathrm{MCB} = \dfrac{8 + 9 - 5}{2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}

どちらも鋭角だから、\mathrm{M} から直線 \mathrm{BC} に下ろした垂線の足 \mathrm{H} は辺 \mathrm{BC} の上にある。\mathrm{BH} = \sqrt{5} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{5}} = 1、\mathrm{MH} = \sqrt{5 - 1} = 2 です。

\mathrm{P} が辺 \mathrm{BC} の上を動くとき、\mathrm{PM}^2 = \mathrm{MH}^2 + \mathrm{PH}^2 = 4 + \mathrm{PH}^2 です。\mathrm{PM} は \mathrm{P} = \mathrm{H} で最小になり、最小値は 2。

よって \mathrm{PG} = \dfrac{2}{3}\mathrm{PM} の最小値は \dfrac{4}{3} で、そのときの \mathrm{P} は \mathrm{BP} = 1 を満たす点、つまり辺 \mathrm{BC} を 1:2 に内分する点です。