以下の問いに答えよ。
(1) 正の実数 a と正の整数 n に対して次の等式が成り立つことを示せ。ただし，e は自然対数の底とする。
e^a = 1 + a + \dfrac{a^2}{2!} + \cdots + \dfrac{a^n}{n!}
\qquad + \displaystyle\int_0^a \dfrac{(a - x)^n}{n!}e^x\,dx
(2) 正の実数 a と正の整数 n に対して次の不等式を示せ。
\dfrac{a^{n+1}}{(n + 1)!} \leqq \displaystyle\int_0^a \dfrac{(a - x)^n}{n!}e^x\,dx
\qquad \leqq \dfrac{e^a a^{n+1}}{(n + 1)!}
(3) 不等式 |e - \left(1 + 1 + \dfrac{1}{2!} + \cdots + \dfrac{1}{n!}\right)| < 10^{-3} を満たす最小の正の整数 n を求めよ。
必要ならば 2 < e < 3 であることは証明なしに用いてもよい。
右辺の積分を I_n とおきます。\dfrac{(a - x)^n}{n!} を x で微分すると -\dfrac{(a - x)^{n-1}}{(n - 1)!} になるため、こちらを微分する側、e^x を積分する側にして部分積分する。
I_n = \left[\dfrac{(a - x)^n}{n!}e^x\right]_0^a
\qquad + \displaystyle\int_0^a \dfrac{(a - x)^{n-1}}{(n - 1)!}e^x\,dx
かっこの中は x = a で 0、x = 0 で \dfrac{a^n}{n!} だから、1 つ目の項は -\dfrac{a^n}{n!} です。n \geqq 2 なら、2 つ目の項は I_{n-1} になる。
I_n = I_{n-1} - \dfrac{a^n}{n!}
n = 1 では 2 つ目の項が \displaystyle\int_0^a e^x\,dx = e^a - 1 で、I_1 = e^a - 1 - a。等式は n = 1 で成り立ちます。
n \geqq 2 のとき、n - 1 での等式 e^a = 1 + a + \cdots + \dfrac{a^{n-1}}{(n - 1)!} + I_{n-1} に I_{n-1} = I_n + \dfrac{a^n}{n!} を代入すると、n での等式になる。数学的帰納法により、すべての正の整数 n で成り立ちます。
0 \leqq x \leqq a では 1 \leqq e^x \leqq e^a で、\dfrac{(a - x)^n}{n!} \geqq 0 です。各辺に \dfrac{(a - x)^n}{n!} をかけて 0 から a まで積分しても、不等号の向きは変わらない。
J = \displaystyle\int_0^a \dfrac{(a - x)^n}{n!}\,dx とおくと、J \leqq I_n \leqq e^aJ が成り立ちます。
J = \left[-\dfrac{(a - x)^{n+1}}{(n + 1)!}\right]_0^a = \dfrac{a^{n+1}}{(n + 1)!}
この値を代入すると、示す不等式になる。
(1) で a = 1 とすると、e - \left(1 + 1 + \dfrac{1}{2!} + \cdots + \dfrac{1}{n!}\right) = I_n です。(2) から I_n > 0 で、絶対値記号はそのまま外せる。
同じく (2) に a = 1 を代入すると、次の不等式が成り立ちます。
\dfrac{1}{(n + 1)!} \leqq I_n \leqq \dfrac{e}{(n + 1)!}
n = 5 では左端が \dfrac{1}{6!} = \dfrac{1}{720} で、10^{-3} = \dfrac{1}{1000} より大きい。n \leqq 5 ではどれも (n + 1)! \leqq 720 で I_n \geqq \dfrac{1}{720} となり、条件を満たしません。
n = 6 では 7! = 5040 で、e < 3 を使うと I_6 \leqq \dfrac{e}{5040} < \dfrac{3}{5040} = \dfrac{1}{1680} となり、10^{-3} より小さい。求める n は 6 です。